2023年中考数学压轴题培优训练-二次函数与菱形存在性问题

二次函数-菱形的存在性问题提升训练（公式法） 知识提炼： 菱形依据，有一组邻边相等的平行四边是是菱形。 对比于平行四边形的判定，还有邻边相等条件，因此，相比较于平行四边形(AC作为对角线），坐标系中还需要满足以下三个等式： 解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等) (1)选定点、半动点组成的三角形，三边作为对角线再分类讨论； (2)利用中点坐标公式列方程：；（AC为对角线时） (3)对角线垂直： 或者邻边相等： 【例题讲解】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，6），点E为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； （2）若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，当以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式， 【分析】（1）由抛物线的对称性可求点B坐标，设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），将点C坐标代入，可求解； （2）设点M（m，0），由中心对称的性质可求点C'（2m，﹣6），点E'（2m﹣4，2），由菱形的性质和两点距离公式可求m的值，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A （2，0），B两点， ∴点B（6，0）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6）， ∵抛物线图象过点C （0，6）， ∴6＝a（0﹣2）（0﹣6）， ∴a＝， ∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣4x+6， ∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣4）2﹣2， ∴顶点E坐标为（4，﹣2）； （2）∵将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'， ∴CM＝C'M，EM＝E'M， ∴四边形CEC'E'是平行四边形， 设点M（m，0）， ∵点C （0，6），点E（4，﹣2），CM＝C'M，EM＝E'M， ∴点C'（2m，﹣6），点E'（2m﹣4，2）， ∵以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形， ∴CE＝C'E， ∴＝， ∴m1＝﹣2，m2＝6， ∴点M（﹣2，0）或（6，0）， 当M（﹣2，0）时，点E'（﹣8，2）， ∴旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣（x+8）2+2； 当M（6，0）时，点E'（8，2）， ∴旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣8）2+2； 综上所述：点M（﹣2，0）或（6，0），旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣（x+8）2+2或y＝﹣（x﹣8）2+2． 题型训练培优： 1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求B、C两点的坐标； (2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标； (3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴与点C，点D为该抛物线的顶点，连接AC． (1)如图1，连接DA、DC，求点D的坐标和△ACD的面积； (2)如图2，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QD|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标； (3)当(2)题中|QP﹣QD|取得最大值时，点M为直线x＝﹣2上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点D、Q、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由 ． 4如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝ax2+3x+c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q