2023年九年级暑假专题训练：二次函数与平行四边形存在点提示训练

二次函数与平行四边形存在点提示训练 知识点提炼： 1、 线段中点公式 平面直角坐标系中，点A的坐标为（x1，y1），点B的作为为（x2,y2），则线段AB的中点作为 2、 平行四边形顶点公式：（由线段中点公式列出等量关系求得） 平行四边形的顶点坐标分别为A（，），B（ ，），C（），D（，），其中AC为对角线，BD为对角线，则有： 3、 确定定点和动点再分类讨论求解 主要有以下两种题型 1、 三定点+一动点 连接三个定点，再以这三个定边分别作为对角线讨论。最后利用定点公式进行求出动点的坐标 2、 两定点+两动点问题 该类题型为一动点在抛物线上（称作为全动点），另外一个动点在对称轴，或者Y轴，或者X轴，或者某一条直线上（称作为半动点）。 任意取定点和半动点（即共三点）组成的三角形，分别讨论三边分别为对角线时，列出平行四边形顶点公式进行求解。 如三点A（，），B（ ，），C（）为定点和半动点组成的三角形，分三种情况讨论 ①AC为对角线时，列出顶点公式求点 ②AB为对角线时列出顶点公式求点 ③AB为对角线时列出顶点公式求点 为什么要这样分类讨论。如下原因： 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： 【例题】）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式； （2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论； （3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可． 【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1）， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3． （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 令y＝0，则x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0）． ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h， 令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0， ∵该抛物线与直线BC始终有交点， ∴Δ＝9﹣4h≥0， ∴h≤． ∴h的最大值为． （3）存在，理由如下： 由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2， ∴E（2，﹣1）， ∴DE＝2， 设点M（m，﹣m2+4m﹣3）， 若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况： ①当DE为边时，DE∥MN， 则N（m，m﹣3）， ∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|， ∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝． ∴N（1，﹣2）或（，）或（，）． ②当DE为对角线时， 设点N的坐标为t， 则N（t，t﹣3）， ∴， 解得m或（舍）， ∴N（3，0）． 综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）． 提升训练题型： 1如图，抛物线经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标； (3)若点F为平面内的一点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标． 2如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO； （3）如图②，延