2023年九年级暑假提升专题：二次函数与直角三角形存在性问题提升训练

二次函数与直角三角形存在性问题提升训练 知识点提炼： 解题思路：先找后求． 1． 找法：已知直角三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下： ①AB为直角边时，两个端点分别引出直角 ②AB为斜边时，作为直径，画圆，利用圆周角为90°，得到交点。 2． 求法：分类讨论；设出点坐标，利用勾股定理或者三角形K型法则，列方程求解． ①勾股定理列等量关系： 即AB为直角边时： AC为直角边时： BC为直角边时： ② 构造K型三角型相似列等量关系： 在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则=; 若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则==1. 【例题讲解】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC． （1）求线段AC的长； （2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案； （2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案； （3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【解析】（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝3或x＝﹣1， ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AC＝＝； （2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∵点P为该抛物线对称轴上， ∴设P（1，p）， ∴PA＝＝，PC＝＝， ∵PA＝PC， ∴＝， ∴p＝﹣1， ∴P（1，﹣1）； （3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3， 设M（m，m2﹣2m﹣3）， ∵△BCM为直角三角形， ∴①当∠BCM＝90°时， 如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°， ∴∠HMC＝45°＝∠HCM， ∴CH＝MH， ∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m， ∴﹣m2+2m＝m， ∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1， ∴M（1，﹣4）； ②当∠CBM＝90°时， 过点M作M'H'⊥x轴， 同①的方法得，M'（﹣2，5）； ③当∠BMC＝90°时，如图2， Ⅰ、当点M在第四象限时， 过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E， ∴∠CDM＝∠E＝90°， ∴∠DCM+∠DMC＝90°， ∵∠DMC+∠EMB＝90°， ∴∠DCM＝∠EMB， ∴△CDM∽△MEB， ∴， ∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3）， ∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3， ∴， ∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝， ∴M（，﹣）， Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣）， 即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）． 题型训练： 1如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC． （1）求该抛物线的表达式和对称轴； （2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标； （3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标； （4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式． 2在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； （2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； （3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB