江西省大余中学2022-2023学年高一下学期期末学情调研数学试题

2022—2023学年度春季学情调研高一数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．已知扇形的面积是9，周长是12，则扇形圆心角的弧度数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，不共线，向量，，且，则（    ） A．－3 B．3 C．－6 D．6 5．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶离地面12米，树上另一点离地面8米，若在离地面2米的处看此树，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 8．三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知到平面的距离为，，记与平面所成角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．设复数，，下列说法正确的是（    ） A． B．的虚部是 C．是纯虚数 D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时， D．若与的夹角为锐角，则 12．已知正三棱台，，，下列说法正确的是（    ）      A．正三棱台体积为 B．侧棱与底面所成角的余弦值为 C．点A到面的距离为2 D．三棱台的外接球的表面积为 三、填空题（共20分） 13．已知i是虚数单位，若，则___________. 14．如右图，在任意四边形中，，分别为，的中点，，，边与所成角为，则线段的长度是____________ 15．如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α＝_____ 16．如图，正三棱柱的底面边长为，高为2，一只蚂蚁要从顶点沿三棱柱的表面爬到顶点，若侧面紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是__________． 四、解答题（共70分） 17．已知向量满足. (1)求及的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 18．已知复数，是实数，其中是虚数单位，． (1)求的值； (2)若复数是关于的方程的根，求实数和的值． 19．已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最值，并指出此时对应的的值． 20．的角的对边分别为的面积为. (1)若，求的周长； (2)设为中点，求到距离的最大值. 21．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的零点. 22．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点．    (1)证明：平面//平面． (2)若平面，，与平面的距离为，，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式． (3)在（2）的条件下，当为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值． 1．C 命题“”的否定是“”. 故选：C 2．B 设扇形的半径为，弧长为， 则，解得， 又圆心角， 故选：B. 3．A . 故选：A. 4．D 设，则， 故． 故选：D 5．C 因为，且， 所以，所以. 故选：C. 6．B 由已知可得，，所以，. 由可得，. 故选：B. 7．C 如图，过点作，交于点，则．    设，在中，． 在中，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 8．A    设为三棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心， 因为，所以为的中点，平面. 过点作平面，M为垂足，则，， 作，垂足为，则四边形MEFG为矩形， ， 故选：A 9．BD 对于A，复数不能比较大小，A错； 对于B，的虚部是，B对； 对于C，不是纯虚数，C错； 对于D，，D对. 故选：BD 10．AB 由，得，即，A选项正确，C选项错误； ，两边同时平方，得，即，化简得， 由，则，，所以，B选项正确，D选项错误. 故选：AB 11．AC 对A，若，则，解得，A正确； 对B，若，则，解得或3，B错误； 对C，当时，，则， 所以，C正确； 若与的夹角为锐角，则且与不同向共线， 所以解得且，D错误． 故选:AC. 12．BCD 设中心为，中心为O，连接， 则 ， 在四边形中，过作于D， 则，则 取中点N，过点N作，交于H，交直线于M， 则点M为三棱台的外接球的球心. 由，可得， 则， 由，可得， 选项A：正三棱台体积为.判断错误； 选项B：设侧棱与底面所成角为，则 又，则， 则侧棱与底面所成角的余弦值为.判断正确； 选项C：设点A到面的距离为h， 由，可得 又等腰梯形中，， 则， 则，解之得. 则点A到面的距离为.判断正确； 选项D：三棱台的外接球的半径为， 则