[中学联盟]云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学（人教版）选修2-1第三章空间向量与立体几何 学案（共8份）

高二 数学学科学案 【学习目标】求异面直线所成的角，求线面角，求面面角。 【学习重难点】利用向量求异面直线所成的角，求线面角，求面面角 【问题导学】 1．两条异面直线所成角的求法 (1)向量求法：设直线 的方向向量为 ，其夹角为 ，直线 的夹角为 ，则有 . (2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．[来源:学§科§网] 2．直线与平面所成角的求法[来源:Z_xx_k.Com] 设直线 的方向向量为 ,平面的法向量为 ,直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ，则有 . 3． 二面角的求法： (1) 与 的夹角(如图①所示)． (2)设 是二面角 的两个面 的法向量，则向量 与 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)． 【实践演练】 典型例题 例1、正方体 中， 分别是 的中点．求异面直线 与 所成角的余弦值． 例2、正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，求 与侧面 所成的角． 例3、四棱锥 中， ⊥底面 ， ，底面 为直角梯形， ,点 在棱 上，且 ,求二面角 的余弦值． 基础练习 1．若直线 的方向向量与 的方向向量的夹角是150°，则 与 这两条异面直线所成的角等于(　　) A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均错 2．若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于150°，则直线 与平面 所成的角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．以上均错[来源:学&科&网Z&X&X&K] 3．直角三角形 的斜边 在平面 内，直角顶点 在 内的射影是 ，则△ 是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．各种情况都有可能 4．如图所示，在正方体 中， 分别是棱 上的点，若 ，则 的大小是(　　) A．等于90° B．小于90° C．大于90 D．不确定 5．在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为(　　) A. D. C. B. 6．若两个平面 的法向量分别是 .则这两个平面所成的锐二面角的度数是________． 7．正方体 中， 分别是 的中点， 是棱 上的动点，则 与 所成的角是________． 8．已知正四棱锥 的侧棱长为 ，，底面的边长为是 的中点，求异面直线 和 所成的角． 9.如图所示，已知直角梯形 ，其中 , ⊥平面 , ,且 ,求直线 与底面 的夹角 的余弦． 10.若 ⊥平面 , ，求二面角A—PB—C的余弦值．  拓展提升 11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1， (1)求二面角C—DE—C1的正切值； (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值． [来源:Z+xx+k.Com] [来源:学科网ZXXK] 12．正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1＝. (1)求证：B1C1⊥平面OAH； (2)求二面角O—A1B1—C1的余弦值．    附件1：律师事务所反盗版维权声明 附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看） 学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060 $$ 数学学科学案 【学习目标】求两点间的距离，求异面直线间的距离，求点到平面的距离。 【学习重难点】利用向量方法求距离 【问题导学】 1．求空间中两点 的距离时，当不好建系时利用 来求． 2．两异面直线距离的求法．如图(1)， 为 与 的公垂线 的方向向量，则 。 3．点 到平面 的距离： .(如图(2)所示) 4.面与面的距离可转化为点到面的距离. 【实践演练】 典型例题 例1、已知矩形 中， ，沿对角线 折叠，使面 与面 垂直，求 间的距离． [来源:Zxxk.Com] [来源:学§科§网]