2023年九年级中考数学三轮冲刺： 从内接正方形到内接矩形 教学设计

《从内接正方形到内接矩形》教案 一、学习目标 1．经历三角形内接矩形、三角形内接正方形概念的形成过程： 2. 了解内接正方形的一般作图方法： 3.会利用相似三角形、勾股定理等知识解决内接正方形的边长、周长、面积等数学问题： 4.在学习活动中体验了分类讨论、转化、方程、数形结合等思想，又一次感受到了“探究实践，观察归纳，猜想论证“是学习数学的重要途径。 二、学习重难点 重点：利用三角形、四边形及相似三角形等几何知识解决有关内接正方形的边长，周长、面积等数学问题学习。 难点：1.三角形内接正方形面积积最大的探究： 2.从内接正方形到内接矩形解决策略上的思维跳跃。 三、学习过程 （一）问题背景 问题来源：浙教版九年级上册4.5《相似三角形的性质及其应用（3）》的课后作业第5题. 问题呈现：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120cm，高线AD=80cm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. 求加工成的正方形零件的边长. （图1） 【分析】引导学生将实际问题转化为数学问题，并将其抽象得到图1所示几何模型. 【设计意图】本题以书本课后习题引入，一方面能够增加学生对问题的熟悉程度，拉近学生与书本的距离，引导学生学习回归课本，另一方面也帮助学生有效的巩固课堂上所学的内容，学会运用知识解决实际问题，感受数学知识在生活中的重要性，从而有助于提高学生的学习成就感. （二）问题探究 问题1：你会给这样的正方形起一个怎样的名字？ 生：三角形的内接正方形. 问题2：这个正方形有什么特征？ 生：正方形在三角形的内部； 生：四个顶点都在三角形的边上. 问题3：请你分别画出以下三种三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）的内接正方形. 【分析】在直角三角形中可作出如下图形： 在锐角三角形中可作出如下图形： 在钝角三角形中可作出如下图形： 尝试1 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？ 【分析】思路探寻：（1）图中相等的线段有哪些？（2）如何建立这些线段的关系？ 由PN//BC，可得△APN∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得PN/BC=AE/AD，从而建立线段之间的联系. 解 设加工成的正方形为PNMQ，如图，边长为xmm. 由PN//BC，得△APN∽△ABC，∴PN/BC=AE/AD， ∴x/120=(80-x)/80，解得x=48（mm). 答：正方形零件的边长为48mm. 【方法】 在平行线截得的三角形相似中，利用相似比等于对应高之比求边长. 尝试2 如图，锐角△ABC中，三边长为a，b，c，记a，b，c三边的高分别为ha ,hb和hc，你会分别表示三个内接正方形的边长吗？ 【分析】相似三角形，是在几何线段计算中一种重要的数学工具. ( △ BPQ ∽△ BAC ) ( △ CMN ∽△ CBA ) ( △ APN ∽△ ABC ) 【设计意图】先让同学们通过观察图形，总结归纳出三角形的内接正方形的特征,接着让同学们自己动手尝试画图，进一步感悟图形的特点。另外在画图过程中涉及分类讨论思想，培养学生思维的严密性.接着安排两个尝试训练，通过思路探寻和分析，总结解题方法，并把方法加以变式和一般化，在这其中很好地体现了数学建模的思想和方程的思想，使得学生的数学素养在潜移默化中得到培养和提升. （三）拓展生长 例：如图，有一块△ABC材料，BC=15，高AD=12，把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，若PN=x，矩形PNMQ的周长为y. （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当矩形PNMQ的周长为28时矩形的面积. 解（1）∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC. ( 即 ) ∵矩形PNMQ在△ABC内，∴0＜PN＜BC，即0＜x＜15. （2）∵矩形PNMQ的周长为28， ∴PQ=4 ∴S矩形PNMQ=10×4=40. 变式生长1 在△ABC中，BC=15，高AD=12，四边形PNMQ为△ABC的内接矩形，（P在AB上，N在AC上，M、Q在BC上）. （1）求当PN为何值时，矩形PNMQ面积最大，最大面积是多少