2023年中考数学热点题型突破 专题六 圆的综合

专题六 圆的综合——2023届中考数学热点题型突破 1.如图,在圆O中,AB是直径,AD是弦,点C在圆O上,于点E,,交AD的延长线于点F,且. （1）求证:CF是圆O的切线: （2）若,,求BE的长. 2.如图,在中,点D在边AC上,BD平分,经过点B,C的圆O交BD于点E,连接OE交BC于点F,. （1）求证:AB是圆O的切线; （2）若,,,求圆O的半径. 3.如图,内接于圆O,AD是圆O直径,E是CB延长线上一点,且. （1）求证:直线AE是圆O的切线; （2）若,,,求EB的长及圆O的半径. 4.如图矩形ABCD中,过A,B两点的圆O切CD于E,交BC于F,于H,连结EF. （1）求证:, （2）若,求BF的长. 5.已知，如图，在圆O中，AB为直径，C为圆上一点，AD平分并交圆O于点D，点E在AD上，且. (1)求证：BE平分； (2)若圆O的半径，，求AC的长. 6.如图,已知AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,,,垂足分别为E,F. （1）求证:; （2）若,,求阴影部分的面积. 7.如图1，四边形OMTN中，，，我们把这种两组邻边相等的四边形叫做筝形. (1)探究结论：试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论； (2)尝试应用：如图2，在筝形ABCD中，已知，，，BD，AC为对角线，.若存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上，试求出这个圆的半径； (3)拓展延伸：如图，将正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形GBEF，AD与EF相交于点K，延长DA交GF于点H.①证明四边形KABE是筝形 ；②若，求AH的长. 8.(1) 如图 (1), 等边三角形ABC的边长为 6 , 则该等边三角形的外接圆半径长为 (2) 如图 (2), 在 中, ,, 点D,E,F 分别在边 BC,AB和AC 上, , 若点D 为BC 边的中点, , 求 AF的长度. (3) 如图 (3), 在 中, ，, 等边三角形DEF的三个顶点分别在边BC,AB 和AC 上, 该等边三角形的面积是否存在最大值? 如果存在, 求出面积最大值; 如果不存在, 说明 理由. 9.在四边形中，，，，.直角三角板含角的顶点E在上移动，一直角边始终经过点A，斜边与交于点F. (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，在上有一点P，.若点E从点B到点C移动的速度为每秒个单位长，求点P在直角三角板内部(包括边界)的时长； (3)连接，当的外心落在的边上时，求的值； (4)直接写出点E移动过程中的外接圆半径的最小值. 答案以及解析 1.答案：（1）见解析 （2）BE的长 解析:（1）连接OC,AC, ,,且, 是的平分线, , , , , , , 是圆O半径, 是圆O的切线. （2）, , , , , , , , . 答:BE的长. 2.答案：（1）见解析 （2）圆O的半径是5 解析:（1）证明:连接OB,如图, , , BD平分, , , , , AB是圆O的切线; （2）解:,BD平分 , , , 解得, , , , , 解得, 令, , , 在中, , 即 解得, 圆O的半径是5. 3.答案：（1）见解析 （2）圆O的半径为 解析:（1）证明:连结BD. 是圆O的直径, . . ,, . . 即. 是圆O的直径, 直线AE是圆O的切线. （2）解:过点B作于点F,则. , ,. ,, =15 . 由（1）,又, . , 设,则,在中,由勾股定理得,可求得. 圆O的半径为. 4.答案：（1）见解析 （2） 解析:（1）证明:CE切圆O于E, , 四边形ABCD是矩形, , , , （2）CE切圆O于E , , 5.答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)证明：为直径，. ，，. 又平分，. ，， ，平分. (2)解：，. ，. 设BC与AD交于点M，如图，则. ，，， 即，，. 易证，，即， . 6.答案：（1）见解析 （2） 解析:（1）证明:连接BD, AD是圆O的直径,B为圆上的点, , , , , , AD是圆O的直径,即O为AD的中点, E为AB的中点, . AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,, , ,即. （2）解:, 又, ,即. , , ,. 如图,连接BD, ,AD是圆O的直径,, . 同理,,,, ,. AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,, . ,, . , , , . 7.答案：(1)见解析 (2) (3)①四边形KABE是筝形 ② 解析：(1)如图1，连接MN、OT，则， 理由：，，， ， ， ， ； (2)设AC、BD交于点M， 在中，，， ， A，B，C，D四个点都在这个圆上， ， ， ， BD为所求圆的直径， ，， ， ， 解得， A，B，C，D四点所在圆的半径为； (3)①连接BK， 四边形