2023年中考数学热点聚焦 专题二 二次函数的综合

专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破 题型1 二次函数与线段最值问题 1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的 顶点记为A. 若点P 是x 轴上一动点, 则 的最小值是( ) A. 8 B. C. 9 D. 2.如图, 抛物线 与x 轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B. (1)求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标; (2)点 P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作 轴, 垂足为C,PC 交AB 于 点D, 求 的最大值, 并求出此时点P 的坐标; (3)将抛物线 向左平移n 个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n 的值. 3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y轴于点C,. （1）求抛物线的解析式; （2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标; （3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值? 题型2 二次函数与图形面积问题 4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、. (1)求抛物线的函数表达式； (2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图). ①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标； ②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由. 5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线 经过 ,两点. P是抛物线上一点, 且 在直线AB 的上方. (1)请直接写出抛物线的解析式. (2)若 面积是 面积的 2 倍, 求点P 的坐标. (3)如图, OP交 AB于点 C,交AB 于点D. 记 ,,的面积分别为,,. 判断 是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由. 6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，. (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC. ①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值； ②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标. 题型3 二次函数与图形判定问题 7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC. (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围； (3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程). 8.如图, 已知点, 以点D 为顶点的抛物线 经过点A, 且与直线 交于点B,. (1)求抛物线的表达式和点D 的坐标. (2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标. (3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q 为顶点的四边形是 菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由. 9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q. (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形； (3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：D 解析：， 平移后抛物线的解析式为 , 点 A的坐标为. 如图, 作点A 关于 x轴对称的点 连接 交x 轴于点P 则此时 有最小值，最小值为 的长， 易知， ， 的最小值 是. 2.答案： (1) (2) (3) 解析： (1)对于, 令, 则, 解得，,. 令, 则, . 设直线 AB的解析式为, 则 解得 直线AB 的解析式为. 抛物线顶点坐标为. (2)如图, 过点D 作 轴于点E, 则.，, . 设点P 的坐标为, 则点D 的坐标为，. ， 又 ， 当 时, 的值最大, 最大值为, 此时, 此时点P 的坐标为. (3)设抛物线的解析式为. 令, 整理, 得, 3.答案：（1） （2） （3） 解析:（1）当时,, 解得,, , . , , , 抛物线的解析式为; （2）如图,作于E, , , 设,则, , , 解得, , , ; （3）如图,作轴,交BC于F, 则, , , , ,由,