天津市滨海新区塘沽第十三中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

2022-2023学年天津市滨海新区塘沽十三中高一（下）期中数学试卷 一、选做题（共9个题，每题5分） 1．（5分）已知复数（3﹣4i）z＝﹣3+i，则在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 3．（5分）已知向量．若，则k＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．（5分）如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（　　） A． B．1 C． D． 5．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 6．（5分）若非零向量、满足，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（　　） A． B． C． D． 8．（5分）若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中错误的是（　　） A．FM∥A1C1 B．BM⊥平面CC1F C．三棱锥B﹣CEF的体积为定值 D．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D 二、填空题（共6个题，每题6分） 10．（6分）若复数是纯虚数，则|m+i|＝　 　． 11．（6分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于　 　． 12．（6分）侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为 　 　；外接球表面积为 　 　． 13．（6分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 　 　． 14．（6分）一艘货船以20km/h的速度向东航行，货船在A处看到一个灯塔P在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为 　 　km． 15．（6分）如图，梯形ABCD中，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝2，＝﹣2，若点M为边AB上的动点，则•的最小值是 　 　． 三、解答题（共4个题） 16．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，B＝150°，△ABC的面积为． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sinA的值； （Ⅲ）求的值． 17．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中． （1）求异面直线AC与BC1所成角的大小； （2）求证：AC⊥BD1； （3）求二面角C﹣BD﹣C1平面角的大小． 18．（17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若a＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长． 19．（20分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （1）证明：PB∥平面AEC； （2）若三棱锥P﹣ABD的体积为，求直线PC与平面PAD所成角的正切值； （3）在第二问的条件下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 2022-2023学年天津市滨海新区塘沽十三中高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选做题（共9个题，每题5分） 1．【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解． 【解答】解：∵（3﹣4i）z＝﹣3+i， ∴＝＝， ∴， ∴在复平面内对应的点（，）位于第二象限． 故选：B． 2．【分析】由a是平面α外的一条直线，可得a与α的位置关系，然后分类分析得答案． 【解答】解：∵a是平面α外的一条直线，∴a∥α或a与α相交， 若a∥α，则a与平面α内的直线的位置关系是平行或异面； 若a与α相交，则a与α内直线的位置关系是相交或异面． 则直线a与平面α内的直线的位置关系是平行、相交或异面． 故选：D． 3．【分析】利用向量