专题20 圆的有关概念和性质【考点精讲】-【中考高分导航】备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

圆的有关概念和性质 一、垂径定理 1．定理:垂直于弦的 平分弦，并且 弦所对的两条弧.  2．推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 弦所对的两条弧.  ②弦的垂直平分线经过圆心，并且 弦所对的两条弧.  ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直 弦，并且 弦所对的另一条弧.  3．推论2:圆的两条平行弦所夹的 相等.  注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线. 二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理 1．弧、弦、圆心角的关系 定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等.  推论:在同圆或等圆中，两个 、两条弧、两条 中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等.  2．圆心角:顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角. 圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角. 3．圆周角定理 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .  推论: ①同弧或等弧所对的 相等.  ②半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是圆的 .  ③圆内接四边形的对角 .  【考点1】垂径定理 【例1】如图，在中半径与弦垂直于点，且，，则的长是　　 A．1 B．2 C．2.5 D．3 【例2】如图，在中，是直径，弦于点．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【例3】如图，是的弦，直径，交于点，连接，若，，则的长度为　　 A．1 B． C． D．3 1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．根据垂径定理构造直角三角形，一般为过圆心作已知弦的弦心距，常用于求线段的长度. 1．如图，是的直径，弦于点，，，则半径为　　 A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 3．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径　　 A．6米 B．米 C．7米 D．米 4．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则水深为　　 A．3 B．2 C． D． 5．如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水深是　　 A． B． C． D． 【考点2】弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理 【例4】如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（       ） A．30° B．25° C．20° D．10° 【例5】如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（   ） A．30° B．45° C．60° D．70° 【例6】（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．130° 【例7】（2022·广西贵港）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（       ） A． B． C． D． 1．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中一对相等，那么其余两对也相等． 2．作半径构造圆心角或连线构造直径所对的圆周角，以运用圆心角和圆周角的有关性质与定理来求角的大小或线段的长度等. 3．常需作辅助线构造圆心角或圆周角，并结合弧、弦、圆心角的关系和圆周角的定理及推论来求角的大小或线段的长度. 4．运用圆周角定理的注意事项 （1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化. （2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化. （3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角. 1．如图，在⊙O中弦AB，CD相交于点E，∠A＝30°，∠AED＝75°，则∠B＝（　　） A．60° B．45° C．75° D．50° 2．一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长120m，测得圆周角∠ACB＝60°，则这个人工湖的直径AD为（　　） A．40m B．60m C．80m D