专题31 解三角形的应用-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题31解三角形的应用 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：解三角形应用举例（距离、高度、角度） 题型二：求解平面几何问题 题型三：三角函数与解三角形的交汇问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题． 【考点预测】 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2). 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 【常用结论】 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解. 【方法技巧】 1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角. 2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图. 3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用. 4.距离问题的类型及解法 (1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达. (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解. 5.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 6.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 7.平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 8.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面： (1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形； (2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用. 二、【题型归类】 【题型一】解三角形应用举例（距离、高度、角度） 【典例1】如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(　　) (参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646) A.39米 B.43米 C.49米 D.53米 【典例2】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　) A.346 B.373 C.446 D.473 【典例3】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________. 【题型二】求解平面几何问题 【典例1】如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC． (1)求sin∠ABD的值； (2)若∠BCD＝，求BC的长． 【典例2】如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝. (1)