重难点突破06 双变量问题（六大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破06 双变量问题 目录 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 题型一：双变量单调问题 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，证明：对任意，，． 例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数. （Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 例3．（2023·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数 （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若时，任意的，总有，求实数 的取值范围. 变式1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，且． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式2．（2023·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明； (3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围． 题型二：双变量不等式:转化为单变量问题 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围. 例5．（2023·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数 (1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； (2)当时，讨论f（x）的单调性； (3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：. 例6．（2023·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数） (1)讨论的单调性 (2)若函数存在两个极值点，且，求的范围. 变式3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围． 变式4．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在两个极值点，记,求的取值范围. 变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围． 变式6．（2023·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点， ①求a的取值范围； ②证明：． 题型三：双变量不等式:极值和差商积问题 例7．（2023·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)若有两个不同的极值点，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：（……为自然对数的底数）. 例8．（2023·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，证明：． 例9．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在两个极值点、，求实数的取值范围，并证明：． 变式7．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数，. (1)当时，讨论方程解的个数； (2)当时，有两个极值点，，且，若，证明： （i）； （ii）. 变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （1）讨论函数的单调区间； （2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立． 变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若有两个极值点，求证：. 题型四：双变量不等式:中点型 例10．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数． （1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：． 例11．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 . （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，证明：当时， ； （Ⅲ）设是的两个零点，证明 . 例12．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数且. （1）讨论函数的单调性; （2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:. 变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：. 变式11．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率） 变式12．（2023·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练