第14讲 抛物线的标准方程-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第14讲 抛物线的标准方程 1．了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　 2．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程． 知识点一 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 知识点二 抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 y2＝2px(p＞0) x＝－ 向右 y2＝－2px(p＞0) x＝ 向左 x2＝2py(p＞0) y＝－ 向上 x2＝－2py(p＞0) y＝ 向下 考点一：求抛物线的标准方程 例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是F(－3,0)． 【总结】 求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程(组)求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 [注意]　当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 变式 抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________． 考点二：抛物线定义的应用 例2 (1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程． 【总结】 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题； (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 变式 若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，点A(3,2)，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标． 考点三：圆锥曲线的共同特征 例3 椭圆上的点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线l：x＝的距离之比是否为定值？ 【总结】 椭圆、双曲线和抛物线上任意一点到焦点F的距离与到定直线的距离之比为常数e．当0＜e＜1时，曲线是椭圆；当e＝1时，曲线是抛物线；当e＞1时，曲线是双曲线． 因此，可以得到圆锥曲线的一个统一定义： 平面内到定点F的距离与到定直线l(F∉l)的距离之比为常数e(e＞0)的动点的轨迹是圆锥曲线．其中，定点F为圆锥曲线的焦点，常数e是圆锥曲线的离心率，定直线l为圆锥曲线的准线． 变式 设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB． 1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定 2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 3．(多选)对抛物线x2＝4y，下列描述不正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0,1) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(1,0) D．开口向右，焦点为 4．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________． 5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标． 1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 3．已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝2ax B．y2＝4ax C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax 4．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为(　　) A．5 B．4 C．3 D． 5．已知M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F是抛物线C的焦点，过M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°(O为坐标原点)，△MN