精品解析：上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

宝山区高一期末数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 在复数范围内，的所有平方根为______. 2. 若幂函数为奇函数，则该函数的表达式______. 3. 无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为______. 4. 若，则______（用含的式子表示）. 5. 若向量、满足，，则______. 6. 已知集合，集合，若，则实数取值范围是______. 7. 在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则______. 8. 已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为______. 9. 函数的部分图象如图所示，则______．    10. 如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为______（精确到）. 11. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 12. 已知函数，有以下命题： ①函数最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号______. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 如果，那么下列式子中一定成立是（     ） A. B. C. D. 14. 欧拉公式（其中是自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 在平行四边形中，，．若，则（ ） A. B. C. D. 16. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知向量，. （1）求； （2）若向量，则当为何实数时，？平行时它们是同向还是反向？ 18. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 19. 已知复平面上有点、，向量与向量对应复数分别为和. （1）求点坐标； （2）设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数. 20. 已知向量，，令函数. （1）求函数的表达式及其单调增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值. 21. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. （1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝山区高一期末数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 在复数范围内，的所有平方根为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设，求出，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】设，则. 由可得，. 由可得，或. 当时，有，解得，； 当时，有，显然不成立. 综上所述，. 故答案为：或. 2. 若幂函数为奇函数，则该函数的表达式______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用幂函数的定义，结合性质求解作答. 【详解】由为幂函数，得，解得或， 当时，，函数是偶函数，不符合题意， 当时，，函数是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为： 3. 无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可知，求解代入，即可得出答案. 【详解】当，即时，无论为何值，恒有，此时， 所以定点坐标为. 故答案为：. 4. 若，则______（用含的式子表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的换底公式