2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）11

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）11 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题11： （2023年鄂J46随一龙泉联考）设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数a和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质． （1）设函数，其中b为实数． （i）求证：函数具有性质； （ii）求函数的单调区间．([endnoteRef:2]) [2: 【答案】（1）（i）见解析；（ii）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）对求导，可得恒成立，即可证明函数具有性质；（ii），与的符号相同，分，，和，讨论的正负，即可得出函数的单调区间. （2）对求导，，分析可知其在恒成立，分，和三种情况讨论求解m的取值范围． 【小问1详解】 （i）， 因为，恒成立，所以函数具有性质； （ii）设，与的符号相同. 当即时，，， 故此时在区间上递增； 当时，对于，有，所以此时在区间上递增； 当时，的图象开口向上，对称轴，而， 对于，总有，，所以此时在区间上递增； 当时，的图象开口向上，对称轴，方程的两根为： ，且，， 当时，，，此时在区间上递减； 同理得：在区间上递增. 综上所述：当时，在区间上递增； 当时，在区间上递减，在上递增. 【小问2详解】 由题意，得：， 又对任意的都有， 所以对任意的都有，在上递增. 又， 当时，，且， 所以，所以或， 若，则， 所以不合题意. 所以，即，解得：，， 当时，，，符合题意. 当时，，且， 同理有，即，解得：，， 综合以上讨论，所求m的取值范围时. 【点睛】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识、考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力. ] （2）已知函数具有性质.给定，，设m为实数， ，，且，，若，求m的取值范围． （2023年鄂J47黄石适应）已知，函数，. （1）求函数的单调区间和极值；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值，无极大值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数法求极值及单调区间即可； （2）先由零点存在定理说明存在两个零点， 法一：由导数法证，，结合函数单调性即可证明； 法二：由导数法证明证明当时，，再令代入不等式化简得证. 【小问1详解】 因为，，所以， 当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 故有极小值，无极大值； 【小问2详解】 因为当时，，所以， 所以， 又时，；时，， 所以有两个零点 ； 法1：下面证明，， 设， 则，所以在上递增， 又时，，所以对成立， 所以得证 ， ， 令，则，，，∴. 设，， 则，所以在上递减， 所以，所以， 所以得证 ， 因为函数区间单调递减， 又，，，、、， 所以 ； 法2：下面证明当时，， 设，， ， 所以在上递增， 所以，所以， 再设，， ， 所以在上递增， 所以，所以， 综上，当时， ， 现有，所以， 故得， 故得， 所以 . 【点睛】证明零点所在区间问题： （1）可结合零点存在定理说明在区间端点处异号及函数单调性证明； （2）通过将结论不等式变形，构造成题设函数的形式，从而将问题转化为证明不等式成立. 如本题变形成，变形成，则可转化为证； （3）证明不等关系可通过构造函数，结合导数法证明. ] （2）设较小的零点为，证明：. （2023年鄂J52国都省考）函数，为的导函数. （1）讨论的单调性；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得，运用导函数，分，两种情况讨论导函数的符号得出函数的单调性； （2）（i）根据（1），结合零点存在性定理确定的零点，由此确定的范围； （ii）由（i）可知，再证明，由此可得要证明，只需证明，设运用导函数研究函数的单调性，可得证. 【小问1详解】 由函数的定义域为， 可得，， 所以 记，则. 当即时，在单调递增. 当即或时，设的解为. 若，则由得，. 因为，所以在单调递增. 若，则由得，. 此时. 当时，，函数在上单调递增； 当时，， 函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在和单调递增， 在单调递减.