2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-4——数列（大题）7

2023年全国一卷新高考题型分类S2-4 ——数列（大题）7 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 数列——大题7： （2023年鄂J55名校二模）已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，. （1）求数列、的通项公式；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1），（2）存在满足要求的为，. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由和项与通项关系得,根据等比数列定义及通项公式可得,由叠乘法可得,再由和项与通项关系得,根据等差数列定义及通项公式可得（2）先研究数列增减性: ,再研究确定可能情况:2,3,7,即得满足要求的. 试题解析：解：（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即，又，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故. 由得，，，…，， 以上个式子相乘得，即①，当时，②， 两式相减得，即（）， 所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列， ,,因此数列的通项公式为. （2）当时，无意义， 设（，），显然. 则，即. 显然，所以， 所以存在，使得，， 下面证明不存在，否则，即， 此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立. 综上，满足要求的为，. 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. ] （2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由. （2023年鄂J56联诊）若正项数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件可推得，由此利用累加法求得，即可求得数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，化简并结合基本不等式可推出，继而判断数列的单调性，可得，结合对于任意的，都有成立，即可求得答案. 【小问1详解】 时，，且， 解得，（舍去）， ，， 化简可得时，， ，，，，， 累加可得，， 又，故时，， 当时，,上式也成立， 所以， 又因为，所以，所以， ，， 时，适合该式， 故. 【小问2详解】 由（1）得 ， （此处不等关系是因为： ， 故，当且仅当时取等号，而，故上式中等号取不到）， ，， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以数列是递减数列， 所以， 因为，都有成立， 所以. 【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推关系和数列的函数特性，属于较难题，解答时要注意：（1）利用累加法求出，再由与的关系求解；（2）利用基本不等式得，再证明数列是单调递减数列，根据单调性求解. ] （2）若对于任意的，都有成立，求的最大值. （2023年鄂J57十七校一联）已知数列满足： ①对任意质数p和自然数n，都； ②对任意互质的正整数对，都有．（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）的前6项分别为1，2，2，3，2，4；的大小与能整除n的自然数个数相同． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意赋值可得前6项，然后根据前6项的值即可得出结论； （2）方法一：由（1）得出，然后分和两种情况进行证明即可； 方法二：设 ，利用不等式的放缩即可求解. 【小问1详解】 令，则；令，则； 令，则；令，则； 令，则；令，所以， 所以的前6项分别为1，2，2，3，2，4． 观察归纳可知，的大小与能整除n的自然数个数相同． 【小问2详解】 方法一： 由（1），因为大于小于n的数不被n整除，故 当为偶数时， ． 为奇数时，，得证． 方法二： 设． 先说明． 中为的项数恰为的正整数解数， 故． 再证． 时，成立； 时， ． ] （1）写出的前6项，观察并直接写出与能整除n的正整数的个数的关系； （2）设数列的前n项和为，证明：． （2023年鄂J58十一校二联）已知数列，若_________________． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解． ①；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可； 若选②，根据可得数列等差数列，利用基本量法