2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-4——数列（大题）4

2023年全国一卷新高考题型分类S2-4 ——数列（大题）4 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 数列——大题4： （2023年苏J03南京师大附中）设为数列的前项和，已知，且满足． （1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求解； （2）利用裂项相消法求和，再结合不等式的性质求出的取值范围. 【小问1详解】 ， ∴，， ∴, ∴当时，； 当时，也符合上式， ∴． 【小问2详解】 ， ∵ ， ∴， 当时，满足， 当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数）， 使得，则， ∴，不满足条件， ∴． ] （2）设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围． （2023年苏J04南京盐城一模）在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足. （1）若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“泛差”，联立得，解出即可. （2）由题，升次作差得，结合，整体代入可得，即可写出其通项. 【小问1详解】 “泛差”，， ，，，联立三式得， 化简得，解得. 小问2详解】 ，则， 由，① ，② ②①得， 即， 且. 所以为等差数列，首项为，公差为， . ] （2）若数列的“泛差”，且，求数列的通项. （2023年苏J06南京二模）已知数列的前项和为，，，． （1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式. （2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明 【小问1详解】 ，则， 整理得到，故， 故是常数列，故，即， 当时，， 验证时满足，故 【小问2详解】 ， 故 . ] （2）求证：． （2023年苏J07南京一中）已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，． （1）求与的通项公式；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可； （2）由错位相减法求解即可 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由已知得，，解得， 所以， 即的通项公式为； 设正项等比数列的公比为，因为，， 所以，所以， 解得或（负值舍去）， 所以． 【小问2详解】 ， 所以， 所以， 相减得， ， 所以． ] （2）求数列的前n项和． （2023年苏J08南京临江二模）已知数列的前项和为，满足. （1）求的值，并求数列的通项公式.（[endnoteRef:6]） [6: 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式分别计算的值，然后构造数列，利用累加法求出通项公式； （2）错位相减法求和. 【小问1详解】 ， 当时，；当时，， ， ， ， 又 【小问2详解】 由（1）得， ， ， ， ] （2）令，求数列的前项和. （2023年苏J09南京秦淮中学）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且，[endnoteRef:7] ， [7: 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出和，从而写出数列的通项公式； （2）由第（1）题的结论，写出数列的通项，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列的前项和. 其余两个方案与方案一的解法相近似. 【详解】解：方案一： （1）∵数列都是等差数列，且， ，解得 ， 综上 （2）由（1）得： 方案二： （1）∵数列都是等差数列，且， 解得 ， . 综上， （2）同方案一 方案三： （1）∵数列都是等差数列，且. ，解得， ， . 综上， （2）同方案一 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题. ] （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和