2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-4——数列（大题）1

2023年全国一卷新高考题型分类S2-4 ——数列（大题）1 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 数列——大题1： （2023年国J01全国一卷）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 ，，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【小问2详解】 为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得 综上，. ] （2）若为等差数列，且，求． （2023年国J02全国二卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. ] （2）证明：当时，． （2023年国J04全国甲卷理）设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】 因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． 【小问2详解】 因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． ] （2）求数列的前n项和． （2023年国J05全国乙卷文）记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式；（[endnoteRef:5]） [5: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. ] （2）求数列的前项和． （2023年粤J01顺德北滘）已知数列的前项的和为，，数列为单调递增的等比数列，且有，. （1）求数列通项公式；（[endnoteRef:6]） [6: 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差求出的通项公式，根据下标和性质得到，即可求出、，从而求出公比，即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，则，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为， 当时，， 当时，，所以， 经检验时也成立，所以； 因为为等比数列，所以，结合，可得或， 因为数列单调递增，所以，所以，则； 即数列为首项的等比数列，即可得. 【小问2详解】 因为数列满足，可得， 所以， 数列的前项的和为， ， 将上面两式相减可得 ， 化简可得， 所以. ] （2）设数列满足，设的前项的和为，求的值. （2023年粤J02佛山华附）已知数列的前项和为，，，． （1）求数列的通项公式；（[endnoteRef:7]） [7: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式. （2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明. 【小问1详解】 ，则， 整理得到，故， 故是常数列，故，即， 当时，， 验证时满足，故 【小问2详解】 ， 故 . ] （2）求证：． （2023年粤J03佛山南海）已知正项数列的前n项和为，且满足. （1）证明：