第03讲 三角函数的图象与性质（十大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 三角函数的图象与性质 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解正、余弦函数在区间内的性质．理解正切函数在区间内的单调性． （2）了解函数的物理意义，能画出的图像，了解参数对函数图像的影响． （3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2023年甲卷第12题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年I卷第15题，5分 本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识． 知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 知识点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 【解题方法总结】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 题型一：五点作图法 例1．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．    (1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像； (2)求，的单调递增区间； (3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围. 例3．（2023·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数. (1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图） (2)设，，当时，试研究函数的零点的情况. 【解题方法总结】 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 题型二：函数的奇偶性 例4．（2023·全国·高三专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 例5．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·北京·高三专题练习）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·浙江·高三期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·广东·高三统考学业考试）函数是（    ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函