重难点突破04 三次函数的图象和性质 （七大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破04 三次函数的图象和性质 目录 1、基本性质 设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有： 性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像： 图像 性质2：三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数:， 判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得： (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）; (5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且; (6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 性质3：对称性 （1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；； （2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2、常用技巧 （1）其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； （2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线 对称. （3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称. （4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有. 题型一：三次函数的零点问题 例1．（2023·全国·高三专题练习）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）设为实数，函数． （1）求的极值； （2）是否存在实数，使得方程恰好有两个实数根?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，且在和处取得极值. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 变式1．（2023·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知，. （1）当，求的极值； （2）当，，设，求不等式的解集； （3）当时，若函数恰有两个零点，求的值. 变式2．（2023·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上有解，求的取值范围； （3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 变式3．（2023·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求的最小值； (2)若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 题型二：三次函数的最值、极值问题 例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数，. （1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）设.若，在上的最小值为，求的零点. 例5．（2023·高三课时练习）已知函数，. （1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值. 例6．（2023·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)=，其中a>0. (1)当a=1时，求f(x)的单调增区间； (2)若曲线y=f(x)在点处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+的最小值. 变式5．（2023·广东珠海·高三校联考期中）已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在区间上的最大值． 变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，且． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值． 变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且的一个根为 （1）求的值； （2）求证：还有不同于的实根、，且、、成等差数列； （3）若函数的极大值小于，求的取值范围 变式8．（2023·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数(其中). （1）求函数的单调区间； （2）若有两个不同的极值点，，求的取值范围. 题型三：三次函数的单调性问题 例7．（2023·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数在R上是增函数，则m的取值范围是(