第09讲 圆与圆的位置关系-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第09讲 圆与圆的位置关系 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．　 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想． 知识点一 圆与圆的位置关系 1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． 知识点二 圆与圆的位置关系的判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆心连线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程分别为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解 两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共点 两个圆有两个公共点 外离 内含 外切 内切 相交 考点一：圆与圆位置关系的判断 例1 已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系． 【总结】 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法； (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 变式 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 考点二：与两圆相交有关的问题 例2 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 【总结】 1．圆系方程 一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其它条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0． 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长； (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 变式 求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． 考点三：与圆有关的探究性问题 例3 如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1,2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【总结】 与圆有关的探究性问题的解题策略 首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确．如果得到一个矛盾结论，就否定假设，对问题作出反面回答． 变式 已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13． (1)求圆C的标准方程； (2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由． 1．圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．内含 2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　) A．(1,0)和(0,1) B．(1,0)和(0，－1) C．(－1,0)和(0，－1) D．(－1,0)和(0,1) 3．(多选)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．(x－5)2＋(y－7)2＝25 B．(x－5)2＋(y－7)2＝17 C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 4．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x