江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

2022-2023学年南京师范大学附属中学江宁分校 高二下学期期末考试 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．已知集合，，则　　 A． B． C． D． 2．设，，则“”是“复数为纯虚数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，，1，2，3，4，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为　　 A． B． C． D． 4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则　　 A．10 B．20 C．30 D．5或40 5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 6．已知直线与圆交于、两点，为坐标原点，，则实数的值为　　 A． B． C． D． 7．已知为矩形所在平面内一点，，，，，则　　 A． B．或0 C．0 D．5 8．已知函数在区间，上单调，且在区间，内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．在研究某品牌汽车的使用年限（单位：年）与残值（单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表： 2 4 6 8 10 17 16 14 13 11 利用最小二乘法，得到回归直线方程为，下列说法正确的是　　 A．与的样本相关系数 B．回归直线必过点 C． D．预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元 10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件： “”，事件 “为奇数”，事件 “”，则下列结论正确的是　　 A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 11．已知，，，则下列结论正确的是　　 A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为3 12．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则　　 A．为奇函数 B． C． D． 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．的展开式中的常数项为　　． 14．幂函数满足：任意有，且（2），请写出符合上述条件的一个函数　　． 15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为 　　． 16．已知，均为锐角，且，则的最大值是　　． 四．解答题（共6小题，共70分） 17．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且． （1）求的值； （2）若点的横坐标为，求的值． 18．记为数列的前项和． （1）从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列；② （2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 19．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如表： 成绩（分 ， ， ， ， ， ， 人数 2 4 22 40 28 4 （1）求抽取的100名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）； （2）以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分，近似为样本方差，若，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”． ①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）； ②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分． 20．如图，是直角梯形，，，，，又，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 21．从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． （1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，，2，3，， ①直接写出，，的值； ②求与的关系式，并求． 22．已知椭圆的离心率为，轴被抛物线截得的线段长与长轴长的比为． （1）求、的方程； （2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交于、． （ⅰ）设直线、的斜率分别为、，求的值；