1.1.1 空间向量及其运算(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第1课时 　 空间向量的概念及线性运算 [课标解读]1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加法、减法运 算,理解其几何意义.3.掌握空间向量的数乘及线性运算. [素养目标]1.通过学习空间向量的概念及线性运算,提升学生的数学抽象素养. 2.能用空间向量的线性运算解决空间几何中的问题,提升学生的数学运算,直观想象等素养. 空间向量的有关概念 1.空间向量 空间中既有 又有 的量 称为空间向量(简称为向量). 2.空间向量的表示法 (1)几何表示法:用 表示; (2)字母表示法:用a,b,c,… 表 示或用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示.如图,此向量的起 点是A,终点是 B,可记作 ,也可记 作 . 3.向量的大小 表示向量的有向线段的 称为向量的大小或模.如图,向量a 的 起点是 A,终 点 是 B,其 模 记 为 或 . 4.几种特殊的向量 (1)零向量:始点和终点 的向量称为 零向量,零向量的方向是 .零向量印刷时, 用0表示;书写时,用 表示.零向量的模为 ,即|0|= . (2)单位向量:模等于 的向量称为单 位向量. (3)相等向量: 的向量称为相 等的向量.向量a和b相等,记作 . (4)相反向量:与已知向量 的 向量称为它的相反向量,向量a 的相反向量记 作 . 5.向量平行(共线) 如果两个非零向量的方向 , 则称这两个向量平行. 规定:零向量与任意向量 . 两个向量a和b平行,记作 . 两个向量平行也称为两个向量 . 6.向量共面 一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的 有向线段通过平移之后,都能 ,则称 这些向量共面;否则,称这些向量不共面.空间中任 意两个向量都是 ,任意三个向量不一定 共面. 空间向量的线性运算 1.空间向量的加法运算 (1)定义:向量a与b的和向量记作 . (2)任意给定两个不共线的向量a,b(如图). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 001 三角形法则:在空间任取一点A,作AB→=a, BC→=b,作出向量AC →,则AC→ 是向量a与b的和 (如图). 平行四边形法则:在空间任取一点A,作AB→= a,AC→=b,以AB,AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC(如图),作出向量AD→,则AD→=AB → +AC →. (3)空间向量的加法满足交换律和结合律a+ b= ,(a+b)+c= . (4)有限个空间向量的和:将这些空间向量依 次首尾相接,那么以第一个向量的始点为始点,最 后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的 和向量. 2.空间向量的减法运算 (1)定义:向量a 与b 的差向量,记作 . (2)三角形法则:在空间任取一点O,作OA→= a,OB→=b,作出向量BA →(图略),则BA→ 就是向量a 与b的差,即OA→-OB → = . 3.空间向量的数乘运算 (1)定义:实数λ与空间向量a相乘的运算. (2)给定一个实数λ 与任意一个空间向量a, 规定它们的乘积是一个空间向量,记作 . 其中①当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|, 而且λa的方向: a.当λ>0时,与a的方向 ; b.当λ<0时,与a的方向 . ②当λ=0或a=0时,λa= . 4.空间向量的线性运算 (1)定义:空间向量的加法、减法与数乘运算, 以及它们的混合运算,统称为空间向量的 . (2)运算律: λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb. 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在空间中,单位向量唯一. ( ) (2)在空间中,互为相反向量的两个向量必 共线. ( ) (3)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小,不 决定向量的方向. ( ) 2.化简PM→-PN → +MN →所得的结果是 ( ) A.PM→ B.NP→ C.0 D.MN→ 3.已知空间四边形ABCD 中,AB→=a,BC → =b, AD→=c,则C