2.7.2 抛物线的几何性质(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第二章　平面解析几何　　　　　　　 2.7.2 抛物线的几何性质 [课标解读]1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的 抛物线问题. [素养目标]通过从实例中体会抛物线的简单几何性质,利用抛物线的简单几何性质解决简单的抛物线的问题,培养 学生的直观想象和数学运算素养. 抛物线y2=2px（p>0）的几何性质 1.范围 (1)范围: . (2)抛物线在y 轴 侧. (3)开口与 正向相同; (4)当x 无限增大时,|y|也 ,这 说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 2.对称性 (1)抛物线的对称轴的方程为 . (2)我们把抛物线的对称轴称为 . 3.顶点 抛物 线 和 它 的 轴 的 交 点 称 为 抛 物 线 的 ,在方程y2=2px(p>0)中,当y=0 时,x=0,因此这条抛物线的顶点就是 . 4.离心率 抛物线上的点到 和 的 距离的比,称为抛物线的离心率,用e表示.按照 抛物线的定义,e= . 四种标准方程的性质对比 标准 方程 y2=2px (p>0) y2= -2px (p>0) x2=2py (p>0) x2= -2py (p>0) 图形 顶点 (0,0) 对称轴 x 轴 焦点 F p2 ,0 F 0,p2 F 0,- p2 续表 准线 x = -p2 x = p 2 y = p 2 离心率 e=1 开口 开口向左 开口向上 开口向下 范围 x ≥0 x ≤0 y≥0 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的 距离等于p. ( ) (2)抛物线的范围是x ∈R,y∈R.( ) (3)抛物线是轴对称图形. ( ) 2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2, 则抛物线的方程是 ( ) A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x 3.边长为1的等边三角形AOB,O 为坐标原点, AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方 程是 ( ) A.y2= 3 6x B.y2=- 3 3x C.y2=± 3 6x D.y2=± 3 3x 4.顶点在原点,对称轴是x 轴,并且顶点与焦点 的距离等于6的抛物线的方程是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 095 由抛物线的几何性质求方程 [例1] 根据下列条件,求抛物线的标准 方程: (1)顶点在原点,对称轴为x 轴,经过点 P(4,23); (2)与抛物线y2=-16x 共顶点,对称轴为 坐标轴,且焦点在直线y=3x+1上. 学生试答: 　　 利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程的 步骤 　　 当抛物线的焦点位置不确定时，如焦点在定直 线上或焦点为已知椭圆的焦点等，则需进行分类讨 论，而恰当地设方程可避免讨论，如若抛物线的焦 点在x 轴上，则可设其方程为y2=mx(m ≠0). 变式训练1 已知某抛物线的顶点是椭圆 16x2+9y2=144的中心,焦点为椭圆的左顶点, 求此抛物线的标准方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 与抛物线方程有关的最值问题 [例2] 双曲线x 2 3- y2 b2= 1(b>0)的右焦 点F 到其一条渐近线的距离为1,抛物线y2= 2px(p>0)的准线过双曲线的左焦点,则抛物 线上的动点 M 到点(5,0)的距离的最小值 是 . 学生试答: 　　 与抛物线有关的最值问题,除了利用抛物线的定 义,使用几何法求解外,也可以根据题目条件转化为 求函数的最值问题,但应注意抛物线的方程中x,y的 范围,同时注意设点技巧. 变式训练2 已知AB 为抛物线y=x2上 的动弦,且|AB|=a(a是常数且a≥1),F