2.5.1 椭圆的标准方程(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第二章　平面解析几何　　　　　　　 2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 [课标解读]1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握 椭圆的定义,会用椭圆的定义解决相关问题.3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. [素养目标]1.通过椭圆概念的引入和椭圆标准方程的推导,提高用坐标法解决几何问题的能力,培养学生的数学抽 象和直观想象素养. 2.通过椭圆标准方程的求解及应用,培养学生的数学运算素养. 椭圆的定义 如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个 常数,且 ,则平面内满足|PF1|+ |PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆.其中,两 个 F1,F2 称为椭圆的焦点, 的距离|F1F2|称为椭圆的焦距. 椭圆的标准方程 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 焦点坐标 a,b,c 的关系 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1, F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1, F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆. ( ) (3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的 距离之和等于点M(5,3)到F1,F2 的距离之 和的点的轨迹是椭圆. ( ) 2.椭圆x 2 25+y 2=1上一点P 到一个焦点的距离 为2,则点P 到另一个焦点的距离为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.椭圆x 2 6+ y2 2=1 的焦距为 ( ) A.2 B.3 C.22 D.4 4.若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍,焦距为 8,则这个椭圆的标准方程为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用待定系数法求椭圆的标准方程 [例1] 求适合下列条件的椭圆的标准 方程: (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4, 0),(4,0),椭圆上一点P 到两焦点距离的和等 于10; (2)椭 圆 的 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是(0, -2),(0,2),并且椭圆经过点 - 3 2 ,5 2 ; (3)椭圆的焦点在x 轴上,a∶b=2∶1,c= 6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 075 学生试答: 　　确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中 心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,即 焦点的位置由x2,y2 项系数分母的大小决定,焦点在 系数分母大的项对应的坐标轴上; (2)“定量”是指确定a2,b2 的具体数值,常根据 条件列方程求解. 变式训练1 求适合下列条件的椭圆的 标准方程: (1)经过两点(2,- 2),-1, 14 2 ; (2)过点(3,- 5),且与椭圆y 2 25+ x2 9=1 有相同的焦点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 椭圆的定义及其应用 [例2] 已知椭圆x 2 4+ y2 3=1 中,点P 是椭 圆上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,且 ∠PF1F2= 120°,则 △PF1F2 的面积为 . 学生试答: 　　 关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定 义列出|PF1|+|PF2|=2a，利用这个关系式，进 一步探究可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的 焦点三角形问题的常用方法. 　　 在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定 理、余弦定理等. 变式训练2 (1)椭圆x 2 25+ y2 9=1 的两个 焦点分别为F1,F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 →·PF2 → =0,则 △F1PF2 的面积为 ( ) A.9 B.12 C.10 D.8 (2)设椭圆x 2 4 + y2 2=1 的两个焦点分别为 F1,F2,点P在椭圆上,且|PF1 → |-|PF2 → |=2,则 PF1 →·PF2 → = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �