2.3.4 圆与圆的位置关系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第二章　平面解析几何　　　　　　　 2.3.4 圆与圆的位置关系 [课标解读]1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.理解圆系方程.3.体会用代数方法处理几何问题的思想. [素养目标]通过根据给定的两圆的方程判断圆与圆的位置关系及利用圆与圆的位置关系解决一些简单问题,培养学 生的直观想象、数学抽象和数学运算素养. 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系 两圆有五种位置关系,如图. 2.判断两圆的位置关系的方法 (1)几何法:利用两圆圆心之间的距离d 与 两圆的半径r1,r2 的关系判断: ① 外离 ⇔d r1+r2; ② 外切 ⇔d r1+r2; ③ ⇔|r1-r2|<d<r1+r2; ④ 内切 ⇔d |r1-r2|; ⑤ 内含 ⇔d |r1-r2|. (2)代数法 两圆的位置关系,可利用两圆方程所构成 的方程组 (x-a1)2+(y-b1)2=r21, (x-a2)2+(y-b2)2=r22 或 x2+y2+D1x+E1y+F1=0, x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的解判断,当 方程组无解时,两圆 ;当方程组有 唯一解时,两圆 ;当方程组有两解 时,两圆 . 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)如果两个圆无公共点,那么这两个圆外离. ( ) (2)两圆方程联立,若有两个解,则两圆相交. ( ) (3)两圆内切或外切时,切点和两个圆的圆心 共线. ( ) (4)若两圆外切,则两圆有三条公切线. ( ) 2.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2= 9的位置关系为 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2= 20相交于 A,B 两点,则 直 线 AB 的 方 程 是 . 4.设m≠0,则圆x2+y2-2mx+2my-2m2= 0与圆x2+y2-8mx-6my+16m2=0的位 置关系是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 圆与圆位置关系的判定 [例1] 已知两圆C1:x2+y2+4x+4y- 2=0,C2:x2+y2-2x-8y-8=0,判断圆C1 与圆C2 的位置关系. 学生试答: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 069 　　判断圆与圆的位置关系的一般步骤：(1)将两圆 的方程化为标准方程（若圆的方程已是标准形式， 此步骤不需要）；(2)分别求出两圆的圆心坐标和半 径r1,r2;(3)求两圆的圆心距d； (4)比较d 与 |r1-r2|,r1+r2的大小；(5)根据大小关系确定圆 与圆的位置关系. 变式训练1 判断圆C1:x2+y2+6x- 7=0与圆C2:x2+y2+6y-27=0的位置关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 圆与圆的相切问题 [例2] 求与圆x2+y2-2x=0外切且与 直线x+ 3y=0相切于点M(3,- 3)的圆的 方程. 学生试答: 　　 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是 告诉相切,则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论; (2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆 的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两 圆半径之和(外切时). [变式探究] 1.(变条件)将本例变为“求 与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x 轴上,且过 点(3,- 3)的圆的方程”. 2.(变条件、变设问)将本例改为“若圆x2+ y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0外 切,试求实数m 的值.” 变式训练2 求与圆(x-2)2+(y+1)2= 4相切于点A(4,-1)且半径为1的圆的方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 两圆相交问题 [例3] 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1= 0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的 公共弦所在的直线方程及公共弦长. 学生试答: 　　1.两圆相交时，公共