2.3.3 直线与圆的位置关系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第二章　平面解析几何　　　　　　　 2.3.3 直线与圆的位置关系 [课标解读]1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.3.能解决有关 切线、弦长问题. [素养目标]通过直线与圆的位置关系的判定以及解决有关切线、弦长问题,培养学生的直观想象、数学抽象和数学 运算素养. 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相交 ⇔ 有 个公共点. (2)直线与圆相切 ⇔ 只有 个公 共点. (3)直线与圆相离 ⇔ 公共点. 2.直线l:Ax+By+C=0与圆M:(x- a)2+(y-b)2=r2 的位置关系的判定方法 (1)代数法 由 Ax+By+C=0, (x-a)2+(y-b)2=r2 消 元 后 得 一 元二次方程,计算判别式Δ: ① 当Δ 0时,直线与圆相交; ② 当Δ 0时,直线与圆相切; ③ 当Δ 0时,直线与圆相离. (2)几何法 圆心M(a,b)到直线l:Ax+By+C=0的 距离 d=| Aa+Bb+C| A2+B2 . ①d r⇔ 直线与圆相交; ②d r⇔ 直线与圆相切; ③d r⇔ 直线与圆相离. 从平面几何的角度看,圆心到直线的距离d 与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆 的位置关系,具体如下表所示. 相离 相切 相交 d r d=r d<r 方程组无实数解 方程组有 的实数解 方程组有 的实数解 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)过圆外一点可作两条圆的切线. ( ) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长,则此 直线过圆心. ( ) (3)过半径外端的直线与圆相切. ( ) (4)若C为圆O 内一点,则过点C的直线与圆 O 相交. ( ) 2.直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=9的位置 关系是 ( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 3.已知圆的方程为x2+y2=1,则经过圆上一点 M(1,0)的切线方程是 ( ) A.x=1 B.y=1 C.x+y=1 D.x-y=1 4.从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向 圆引切线,则切线长为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 065 直线与圆的位置关系 [例1] 已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),问 过点P的直线(斜率存在)的斜率为多少时,这条直 线与已知圆:(1)相切;(2)相交;(3)相离. 学生试答: 　　 直线与圆的位置关系的两种判断方法中，若直 线与圆的方程已知或圆心到直线的距离易求，则用 几何法较简单；若直线或圆的方程中含有参数，且 求解圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单. 注意应用几何法时需将圆的一般方程化为标准方程. 变式训练1 (1)直线x-ky+1=0与圆 x2+y2=1的位置关系是 ( ) A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 (2)已知点(a,b)在圆C:x2+y2=r2(r≠ 0)的外部,则直线ax+by=r2 与C 的位置关 系是 ( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 弦长问题 [例2] 求直线l:3x+y-6=0被圆C: x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 学生试答: 　　 求弦长的两种方法 求解直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下 两种. (1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成 直角三角形，所以利用勾股定理d2+ l 2 2 =r2 求 解，这是常用解法. 　　(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交 点横坐标（或纵坐标） 之间的关系，代入弦长公式 求解.此解法较烦琐，一般不用. 变式训练2 (1)过点G(0,1)的直线与 圆x2+y2=4相交于A,B 两点,则|AB|的最 小值为 ( ) A.2 B.23 C.3 D.25 (2)过原点的直线与圆