2.3.1 圆的标准方程(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第二章　平面解析几何　　　　　　　 轴对称问题 [例2] (1)点P(-3,4)关于直线x+y- 2=0的对称点Q 的坐标是 ( ) A.(-2,1) B.(-2,5) C.(2,-5) D.(4,-3) (2)已知直线l1:x-y+3=0,直线l:x- y-1=0,若直线l1关于直线l的对称直线为l2, 求直线l2 的方程. 学生试答: 1.直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方 程为 ( ) A.x-y-1=0 B.x-y-2=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 2.已知直线l:y=3x+3,试求: (1)点P(4,5)关于直线l对称的点的坐标; (2)直线l关于点A(3,2)对称的直线的方程. 3.一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l: 8x+6y=25反射后过点P(-4,3),求反射光 线所在直线的方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程 [课标解读]1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确 判断点与圆的位置关系. [素养目标]1.通过探究圆的标准方程及点与圆的位置关系以及条件,培养学生的直观想象、逻辑推理素养. 2.通过根据已知条件求圆的标准方程,培养学生的数学抽象和数学运算素养. 圆的标准方程 1.圆的定义 平面内到一定点的距离等于 的点 的集 合 是 圆,定 点 是 ,定 长 是 圆 的 . 2.圆的标准方程 以A(a,b)为圆心,半径为r的圆的标准方 程为 . 3.点与圆的位置关系及判定方法 点M(m,n)与圆C:(x-a)2+(y-b)2= r2 的位置关系的判定方法如表: 位置关系 判定方法 几何法: 用|CM|与r 作比较 代数法: 用 圆 的 标 准 方 程 来 判定 点 M 在圆C 上 点 M 在圆C 外 点 M 在圆C 内 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 059 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)圆心位置和圆的半径确定,圆就唯一 确定. ( ) (2)方程(x -a)2+(y-b)2=m2 一定表 示圆. ( ) (3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是 (1,-1),半径是2. ( ) (4)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上. ( ) 2.已知圆(x+1)2+y2=2,则其圆心和半径分 别为 ( ) A.(1,0),2 B.(-1,0),2 C.(1,0),2 D.(-1,0),2 3.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为 ( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25 4.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内 部,则实数a的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求圆的标准方程 ● 命题视角1:用直接法求圆的标准方程 [例1] 求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆 心在直线x+y-2=0上的圆的方程. 学生试答: 　　 求圆的标准方程时常用的几何性质 (1)圆的弦的垂直平分线必过圆心； (2)圆的任意两条弦的垂直平分线的交点必为 圆心； (3)圆心与切点的连线长为半径； (4)圆心与切点的连线垂直于圆过该切点的 切线； (5)圆的半径r,半弦长d,弦心距h满足r2=d2+ h2. 变式训练1 求下列圆的标准方程: (1)经过点(6,3),圆心为(2,-2); (2)圆心在直线y =-2x 上,且与直线 y=-x+1相切于点(2,-1). ● 命题视角2:用待定系数法求圆的标准方程 [例2] 求经过点P(1,1)和坐标原点,并 且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程. 学生试答: 　　1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半 径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出 圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标