2.2.1 直线的倾斜角与斜率(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第二章　平面解析几何　　　　　　　 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 [课标解读]1.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点的直线的斜率公式.2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程 度,并掌握它们之间的关系.3.理解直线的方向向量、法向量,了解它们之间的关系.4.掌握直线的方向 向量、法向量与直线斜率、倾斜角的关系. [素养目标]1.通过学习直线的倾斜角与斜率的概念,提高学生的数学抽象素养. 2.通过学习过两点的直线的斜率公式,及用斜率解决有关问题,提高学生的数学运算等素养. 3.通过学习直线的方向向量、法向量的概念,提高学生的数学抽象素养. 4.通过直线方向向量、法向量与直线斜率、倾斜角关系的学习,提升学生逻辑推理及数学运算素养. 直线的倾斜角与斜率 1.给定平面直角坐标系中的一条直线,如 果这条直线与x 轴相交,将x 轴绕着它们的交 点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最 小正角记为θ,称θ为这条直线的倾斜角.如果这 条直线与x 轴平行或重合,则规定这条直线的 倾斜角为0°. 2.倾斜角的取值范围是[0°,180°)(即[0, π)).与x 轴平行或重合(与y 轴垂直)的直线, 倾斜角为0°,与x 轴垂直的直线,倾斜角为 . 3.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两 个不同的点,直线l的倾斜角为θ,则 (1)当y1 =y2 时(此时必有x1 ≠x2), θ=0°; (2)当x1 =x2 时(此时必有y1 ≠y2), θ=90°; (3)当x1 ≠x2 且y1 ≠y2 时,tan θ= y2-y1 x2-x1 . 4.如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90° 时,称k=tan θ为直线l的斜率;当θ=90°时,称直 线l的斜率 ;若A(x1,y1),B(x2,y2)是直 线l 上两个不同的点,则当x1 ≠x2 时,k= . 直线的方向向量 1.给定平面直角坐标系中的一条直线l,在 l上任取A,B 两个不同的点,称AB→ 是直线l的 一个方向向量. 2.如果表示非零向量a 的有向线段所在的 直线与直线l平行或重合,称向量a 为直线l的 一个方向向量,记作 . 3.性质: (1)如果a 为直线l的一个方向向量,那么 对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方 向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定共线; (2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上 两个不同的点,则AB→=(x2-x1,y2-y1)是直 线l的一个方向向量. 4.已知a=(u,v)为直线l的一个方向向 量,则 (1)当u=0时,直线l的斜率不存在,倾斜 角为 ; (2)当u≠0时,直线l的斜率存在,且(1, k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,即 k= v u. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 041 直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线 与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向 量,记作v⊥l. 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有直线都有倾斜角和斜率. ( ) (2)直线的倾斜角越大,直线的斜率也越大. ( ) (3)若a=(x0,y0)为直线l的一个方向向量, 则b=(y0,-x0)一定是直线l的一个法向量. ( ) (4)直线的方向向量与法向量不唯一.( ) 2.下列各选项中标注的直线的倾斜角正确的是 ( ) 3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为 ( ) A.33 B.3 C.1 D.22 4.已知直线l的斜率为-1,则直线l的倾斜角为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线的倾斜角 [例1] 设直线l过原点,其倾斜角为α,将 直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到 直线l1,则直线l1 的倾斜角为 ( ) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α+45°或α-135° 学生试答: 　　 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三 角形)求角