1.2.5 空间中的距离(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 1.平面α 的一个法向量为n1=(4,3,0),平面β 的一个法向量为n2=(0,-3,4),则平面α与 平面β 相交所成角的余弦值为 ( ) A.- 9 25 B. 9 25 C.725 D. 以上都不对 2.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,PA⊥平面 ABCD,PA= 43 5 ,那么二面角A-BD-P 的 大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,二 面 角 A1-BD1-C1 的大小是 ( ) A.150° B.120° C.90° D.60° 4.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,二 面 角 A1-BD-C1 的余弦值为 . 5.如图,四边形 ABCD 是正方形,V 是平面 ABCD 外一点,且VA=VB=VC=AB,求二 面角A-VB-C 的余弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.2.5 空间中的距离 [课标解读]1.理解点到平面的距离的概念.2.能灵活运用向量方法求各种空间距离.3.体会向量法在求空间距离中 的作用. [素养目标]1.通过学习空间中的距离的相关概念,提高学生的数学抽象素养. 2.通过用向量方法求空间中两点、点到直线、点到平面、线到平面、两平面的距离,提升学生的直观想 象、数学运算等素养. 距离的概念 空间中任意两个图形之间的距离为两个图 形间点与点之间 的长度. 空间中的距离 1.空间中两点之间的距离 空间两个点连线的 为这两点之间 的距离. 2.点到直线的距离 已知空间中一条直线l及l外一点A,过A 作直线l的一条 ,这条 称为点 A 到直线l的距离. 3.点到平面的距离 (1)已知空间中一个平面α 及α 外一点A, 过A 作平面α 的一条 ,这条 称为点A 到平面α 的距离. (2)若A 是平面α外一点,B 是平面α内一 点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的 距离d= . 4.相互平行的直线与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时,直线上 到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的 距离. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 (2)已知直线l与平面α平行,n为平面α的 法向量,A,B分别为l上和α内的点,则直线l与 平面α 之间的距离为d= . 5.平行平面之间的距离 (1)当平面与平面平行时,一个平面 内 到另一个平面的距离称为这两个平行 平面之间的距离. (2)与两个平行平面同时垂直的直线,称为 这两个平面的 ;公垂线夹在平行平面 间的部分,称为这两个平面的 .两个平 行平面之间的距离等于它们的 . (3)如果平面α与平面β平行,n是平面β(或 α)的一个法向量,A和B分别为平面α与平面β内 的点,则两平面之间的距离d= . 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)点到线的距离就是垂线的方向向量的模. ( ) (2)直线与它的平行平面的距离可转化为直 线上任一点到平面上任一点的距离. ( ) (3)两平行平面间的距离可转化为一个平面 内任一点与另一个平面内的任一点之间的 距离. ( ) 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,则 A1A 到平面B1D1DB 的距离为 ( ) A.2 B.2 C.22 D. 32 2 3.若O 为坐标原点,OA→=(1,1,-2),OB → =(3, 2,8),OC→=(0,1,0),则线段AB 的中点P 到 点C 的距离为 ( ) A.1652 B.2 14 C.53 D.532 4.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4, 8),则点D 到平面ABC 的距离为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 点到点的距离 [例 1] 如 图,正 方 形 ABCD 和正方