1.2.2 空间中的平面与空间向量(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 1.2.2 空间中的平面与空间向量 [课标解读]1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用.3.会利用空间 向量证明两平面的平行和垂直. [素养目标]1.通过学习平面的法向量,提高学生的数学抽象素养. 2.通过用向量证明平面的平行和垂直,提高学生的逻辑推理、数学运算等素养. 平面的法向量 1.定义 如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一 个非零向量,且表示n的有向线段所在直线与平面 α ,则称n为平面α 的一个 ,此 时,也称n 与平面α 垂直,记作 . 2.性质 (1)如果直线l垂直平面α,则直线l的任意 一个 都是平面α 的一个法向量. (2)如果n 是平面α 的一个法向量,则对任 意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个 法向量,且平面α的任意两个法向量都 . (3)如果n 为平面α 的一个法向量,A 为平 面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点 B,向量AB→一定与向量n ,即 . 利用平面的法向量判断线面、面面 平行或垂直　　　　　　　　　　 1.线面平行或垂直 设v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一 个法向量,则n∥v⇔ ;n⊥v⇔ . 2.面面平行或垂直 设n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2 的 一 个 法 向 量,则 n1 ⊥ n2⇔ ; n1∥n2⇔ . 三垂线定理及其逆定理 1.射影 空间中,图形F上所有点在平面α内的射影所 组成的集合F',称为图形F 在平面α内的射影. 2.三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线 在该平面内的射影 ,则它也和这条斜 线 . 3.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条 斜线 ,则它也和这条斜线在该平面内 的射影 . 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)直线的方向向量与平面的法向量垂直,则 直线与平面平行. ( ) (2)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所 有向量. ( ) (3)如果a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那 么n 就是平面α 的一个法向量. ( ) (4)若直线l是平面α 外的一条直线,直线m 垂直于l在平面α 内的投影,则l与m 垂直. ( ) 2.若两个不重合平面α与β的法向量分别是a= (1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面α与β的位 置关系是 ( ) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.无法判断 3.已知平面α上的两个向量a=(2,3,1),b=(5, 6,4),则平面α 的一个法向量为 ( ) A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 4.若平面α 的一个法向量为u1=(-3,y,2),平 面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥ β,则y+z= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 平面的法向量 [例1] 四边形ABCD 是直角梯形,其中 AD ∥BC,∠ABC=90°,SA ⊥ 平面ABCD, SA=AB=BC=2,AD =1,求平面SCD 和平 面SAB 的一个法向量. 学生试答: 　　 平面的法向量有无数个，一般用待定系数法解 一个三元一次方程组，求得其中的一个即可.构造方 程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋 值时保证所求法向量为非零向量，本题中的法向量 的设法值得借鉴. 变式训练1 已知△ABC 的三个顶点的 坐标分别为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),试 求出平面ABC 的一个法向量. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用法向量证明平行问题 [例2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 分别是CC1,B1C1的中点.求证:MN∥平 面A1BD. 学生试