1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 　 空间向量的坐标及运算 [课标解读]1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示,掌握空间向量数量积的坐标表示.2.掌握空间向量的模、夹角 公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平 行、垂直的关系. [素养目标]1.通过空间向量的坐标概念,提升学生的数学抽象素养. 2.能运用空间向量的线性运算的坐标表示、空间向量的数量积的坐标表示解决一些相关问题,提升学生 的数学运算素养. 空间中向量的坐标 1.单位正交基底 如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2, e3都是 ,而且这三个向量 , 就称这组基底为单位正交基底. 2.单位正交分解 在单位正交基底下向量的分解,称为向量 的单位正交分解. 3.向量的坐标 在基底{e1,e2,e3}下,若p=xe1+ye2+ ze3,则称有序实数组 为向量p 的坐 标,记作p= .其中x,y,z都称为p的 . 空间向量的运算与坐标的关系 已知两个向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2, z2).则有以下结论: 1.a+b= . 2.ua+vb= . 3.a·b= . 4.|a|= a·a= . 5.若a≠0,b≠0,则 cos<a,b>= a·b |a||b|= . 空间向量的坐标与空间向量的平行、 垂直 已知向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). 1.(1)若a≠0,则 a∥b⇔b=λa⇔ . (2)若x1,y1,z1≠0,则 a∥b⇔ x2 x1= y2 y1= z2 z1 . 2.a⊥b⇔a·b=0⇔ . 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥ b⇔ a1 b1= a2 b2= a3 b3 . ( ) (2)空间中同时垂直于两个不共线向量的向 量有无数个,而且这无数个向量相互平行. ( ) (3)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则<a, b>是钝角 ⇔a1b1+a2b2+a3b3<0.( ) (4)把向量a=(x,y,z)平移后其坐标不变. ( ) 2.已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4, -1,-3),则向量2a-3b+4c的坐标为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 011 A.(4,-5,-10) B.(2,-1,1) C.(16,0,-19) D.(-16,0,19) 3.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),使 a⊥b成立的x 与使a∥b成立的x 分别为 ( ) A.103 ,-6 B.- 10 3 ,6 C.-6, 10 3 D.6 ,- 10 3 4.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b= 4,则x= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间中向量的坐标及简单运算 [例1] 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1, 8),计算: (1)2a+3b; (2)3a-2b; (3)a·b. 学生试答: 　　 空间向量的坐标运算方法 (1)解决此类问题的关键是熟练掌握并应用向量 的运算法则； (2)在运算中注意相关公式的灵活运用， 如 （a+b)·（a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a±b)2= a2±2a·b+b2 等； 　　(3)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运 算，也可先进行向量式的化简，再代入坐标运算. 变式训练1 已知a=(2,-1,-2),b= (0,-1,4) .求: (1)a+b;(2)a-b;(3)a·b. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋