第03讲 三角函数性质图像和三角恒等式变换高频考点突破-2023-2024学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频考点突破 【考点梳理】 考点一：任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)． 考点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 考点三：公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α， 其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等． 考点四：同角三角函数的基本关系 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)． 考点五：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α. 考点六：六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 技巧归纳： 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 考点七．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z) 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π 考点八.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下： 考点九　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 考点十　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 考点十一：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 考点十二：二倍角的正弦、余弦、正切公式 考点十三　半角公式 sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 考点十四　辅助角公式 辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型梳理】 题型一：同角