第16讲：抛物线-(8大题型）-2024-2025学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第16讲：抛物线 【考点梳理】 · 考点一、抛物线的定义 · 考点二、抛物线的最值问题 · 考点三：抛物线的标准方程问题 · 考点四、抛物线的几何性质的应用 · 考点五、抛物线的弦长问题 · 考点六：抛物线的中点弦长问题 · 考点七：抛物线的焦点弦问题 · 考点八：直线与抛物线的定点、定值问题 【知识梳理】 知识点一　抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 知识点二　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 知识点三　和抛物线有关的轨迹方程 根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程． 知识点四　直线和抛物线 1．直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数， 即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 2．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 3．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋x2＋p；③＋＝. 【例题详解】 题型一、抛物线的定义 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型二、抛物线的最值问题 4．（24-25高二上·全国）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 题型三：抛物线的标准方程问题 7．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 8．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 9．（2024高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 题型四、抛物线的几何性质的应用 10．（2023高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 11．（2023高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 12．（21-22高三上·广东茂名·阶段练习）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（    ） A． B． C． D． 题型五、抛物线的弦长问题 13．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 15．（23-24高二上·江西萍乡·期末）抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D．9 题型六：抛物线的中点弦长问题 16．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过抛物线C顶点的直线l与准线交于点M，与抛物线C交于另一点N.若，则点N的横坐标为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·河北邯郸·期中）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 题型七：抛物线的焦点弦问题 19．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 21．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型八：直线与抛物线的定点、定值问题 22．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线l'经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 23．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 24．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【专项训练】 一、单选题 25．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 26．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 28．（2024·云南昆明·模拟预测）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 29．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 30．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点A位于第一象限，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（23-24高二上·广东中山·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 34．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 35．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线的焦点为，若是抛物线上任意一点，直线的倾斜角为，点是线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．若，则 C．的最小值为 D．在轴上不存在点，使得 36．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（   ）. A． B． C．为等腰三角形 D．在M，N两点处的切线互相垂直且交点在准线上 37．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线：（）的焦点为，过拋物线上一点作两条斜率之和为0的直线，与的另外两个交点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．的准线方程是 B．直线的斜率为定值 C．若圆与以为半径的圆相外切，则圆与直线相切 D．若的面积为，则直线的方程为 三、填空题 38．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 39．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A.若在x轴正方向上的投影为，则的面积为 . 40．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 41．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 四、解答题 42．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 43．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值． 44．（23-24高二下·广东广州·期中）已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； (3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 45．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 46．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知两个定点A、B的坐标分别为和，动点P满足（O为坐标原点）． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值； 47．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，. (1)求和圆的方程； (2)过上一点作圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲：抛物线 【考点梳理】 · 考点一、抛物线的定义 · 考点二、抛物线的最值问题 · 考点三：抛物线的标准方程问题 · 考点四、抛物线的几何性质的应用 · 考点五、抛物线的弦长问题 · 考点六：抛物线的中点弦长问题 · 考点七：抛物线的焦点弦问题 · 考点八：直线与抛物线的定点、定值问题 【知识梳理】 知识点一　抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 知识点二　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 知识点三　和抛物线有关的轨迹方程 根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程． 知识点四　直线和抛物线 1．直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数， 即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 2．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 3．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋x2＋p；③＋＝. 【例题详解】 题型一、抛物线的定义 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得. 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 且点不在直线上， 则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线. 故选：D. 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 题型二、抛物线的最值问题 4．（24-25高二上·全国）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值. 【详解】已知抛物线上有一点，则，即． 又，故在抛物线的外部， 则， 因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．    由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值， 则的最小值为． 故选：B 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】 结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可. 【详解】抛物线，则焦点，准线， 最小时，即最小，根据抛物线的定义，， 所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时， 最小，且最小值为，解得. 故选：C. 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定点与抛物线的位置关系，再借助抛物线定义求解即得. 【详解】抛物线中，当时，，则点在抛物线外， 抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接， 则，于是， 当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为. 故选：C 题型三：抛物线的标准方程问题 7．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】抛物线的焦点为， 则点到直线的距离，解得. 故选：C. 8．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】 建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 9．（2024高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题意得到抛物线上点的坐标，待定系数法求解参数即可. 【详解】设抛物线方程为.设， 由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中，则有， 解得，所以抛物线方程为. 故选：C 题型四、抛物线的几何性质的应用 10．（2023高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到四边形为菱形，再结合，求出点A的坐标，进而求解结论． 【详解】根据抛物线的对称性以及为线段的垂直平分线， 可得四边形为菱形， 又，可得， 故可设，代入抛物线方程可得，解得， 故， 故四边形的周长为：. 故选：D. 11．（2023高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可. 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，且轴， ∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形， 设与轴的交点为， ∴，即， ∴将代入得，解得． 故选：D． 12．（21-22高三上·广东茂名·阶段练习）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案. 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径， 因为圆的半径为，抛物线的通径为， 所以有：，解得 故选：D 题型五、抛物线的弦长问题 13．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 14．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【答案】C 【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 15．（23-24高二上·江西萍乡·期末）抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由向量的关系，可得，的横坐标关系，整理可得直线的斜率，再由的面积为，即，整理可得的值，进而求出弦长的大小. 【详解】由题意设直线的方程，设，设， 由，整理可得：，可得，， 因为，可得，代入，可得，再代入 ，可得，即， 设在准线上的射影分别为，的面积为， 所以， 即， 所以 即， 整理可得， 所以， 所以，解得，即, 所以. 故选：B 题型六：抛物线的中点弦长问题 16．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】 设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 17．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过抛物线C顶点的直线l与准线交于点M，与抛物线C交于另一点N.若，则点N的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，表示出，再由，可得列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，由题意，得，准线：. 设直线l的方程为（由题意，知k存在且），则点，. 设线段MN的中点为E，则点，所以直线EF的斜率. 由，得，所以，所以， 整理得，解得， 所以，所以点N的横坐标为. 故选：C. 18．（23-24高二上·河北邯郸·期中）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，代入抛物线方程，两式相减后结合线段中点的纵坐标得出，再结合焦点的坐标得出直线的方程，由点到直线距离公式计算即可． 【详解】由抛物线得焦点， 设，，则， 两式相减得，即， 因为线段中点的纵坐标为1，即， 所以，即， 所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点， 所以到直线的距离， 故选：A． 题型七：抛物线的焦点弦问题 19．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，， 直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， ，故C正确． 故选:C． 20．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】分过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，求出，，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意得， 当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去， 当过的直线斜率存在时，设为，联立得， ， 设，则， 因为，所以， 又，故，解得， 故，解得， 故，解得. 故选：B 21．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，利用抛物线的性质，求出中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可得到抛物线方程． 【详解】由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，以为直径的圆过点， 可知的中点的纵坐标为：2， 直线的方程为：， 则，可得，则中的纵坐标为：，解得， 该抛物线的方程为：． 故选：B． 题型八：直线与抛物线的定点、定值问题 22．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线l'经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，则由已知结合抛物线的焦点弦公式得，设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合前面的式子可求出，再结合中点坐标公式可求得答案； （2）设，，，，，表示出直线的方程，从而表示出，化简即可. 【详解】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点C到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数． 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是利用圆锥曲线中常用的方法“设而不求”，设出直线方程，设出交点坐标，考查计算能力，属于较难题. 23．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标． 【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点．    24．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． (1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； (2)设直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1)和 (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线性质得到点，直曲联立，令判别式得零，解出斜率，得到切线方程； （2）由点斜式设出直线方程，直曲联立，由判别式为零，得到关于的一元二次方程，再由韦达定理得到斜率之积为定值. 【详解】（1） 由抛物线C的方程为，则其准线方程为 由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 此时抛物线C的两条切线方程分别为和. （2） 点P在抛物线C的准线上，设 由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0， 设其斜率为k则切线方程为 联立 由于直线与抛物线C相切，可知，即 而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根 故. 【专项训练】 一、单选题 25．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得. 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 26．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，联立方程，求出的坐标，然后求解. 【详解】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：， 联立，消去可得：，解得, 不妨令,则, 故． 故选：C. 27．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解． 【详解】因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故. 故选：D. 28．（2024·云南昆明·模拟预测）设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】由三角形重心坐标公式可得，再由抛物线的定义计算出长度即可. 【详解】由题意可知，点的坐标为， 设点，，的坐标分别为，，， 又为的重心，则，即， 由抛物线方程可得， 所以由抛物线的定义可知， 故选：D. 29．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【详解】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A 30．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点A位于第一象限，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，联立直线与抛物线，利用韦达定理结合条件即可求解. 【详解】由，可得焦点，， 设， ， ，， 由题可知直线的斜率存在，可设直线l的方程为， 联立直线与抛物线方程：， 化简整理可得， 由韦达定理可得，故， 解得，且点A位于第一象限， ， ∴的值为． 故选：A． 31．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示：   为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 32．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性建立方程求解参数，得到抛物线方程，最后求解准线即可. 【详解】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 二、多选题 33．（23-24高二上·广东中山·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 【答案】AD 【分析】由焦点坐标求，判断A，设直线的方程，运用韦达定理和抛物线定义求斜率，判断B，写出直线的方程，运用韦达定理和抛物线的焦点弦弦长公式，计算可判断C，设直线的方程，由向量数量积的坐标公式和韦达定理，计算可判断D. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点为，可得，即，从而抛物线，故选项A正确； 对于选项B，设直线的方程，不等于0，代入，得， 所以，， 由抛物线定义可知，， 由，可得， 即，代入，可得， 由，可知，所以，从而， 把，代入，可得，故选项B错误； 对选项C，直线的斜率为2，所以直线方程：，即， 代入，可得，所以， 由抛物线定义可知，所以，故选项C错误； 对选项D，设直线的方程，代入，得， 所以，， 由， 即， 把，，代入， 可得，故选项D正确. 故选：AD. 34．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1， 过点作于，设点，，， ， 当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，AB不可能，CD可能. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：关键是能够将所求式子表示为关于某一变量的函数的形式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值. 35．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线的焦点为，若是抛物线上任意一点，直线的倾斜角为，点是线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．若，则 C．的最小值为 D．在轴上不存在点，使得 【答案】ACD 【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，然后逐项分析、计算作答. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 对于A，设点，则点，而P是抛物线C上任意一点，于是得， 即，于是点M的轨迹方程为，A正确； 对于B，直线的方程为：，由消去y并整理得， 解得，，则或， B错误； 对于C，设点，则，当且仅当时取等号，即的最小值为，C正确； 对于D，由点M的轨迹方程为，设，， 则，， 因此为锐角，即在轴上不存在点，使得，D正确. 故选：ACD    36．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（   ）. A． B． C．为等腰三角形 D．在M，N两点处的切线互相垂直且交点在准线上 【答案】AD 【分析】运用直线的定点得到焦点进而得到p，判断A；直线与抛物线联立结合抛物线定义，求出弦长，判断B；求出的三边长即可判断C； 设直线的方程为，联立方程组，利用设而不求法求，求抛物线C在点M、N处的切线方程，求两直线交点即可判断D. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，，，则A选项正确，且抛物线C的方程为. B选项：设，， 由消去y并化简得， 解得，，所以，B选项错误. C选项：直线，即， O到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知，， 所以，， 所以三角形不是等腰三角形，C选项错误： 设直线的方程为， 联立，消得，， 方程的判别式， 设，则， 过点，斜率为0的直线与抛物线相交， 故可设过点的抛物线的切线为， 联立，消可得，， 由已知，又， 所以 ，所以， 故点的切线方程为， 化简可得，斜率， 同理可得过点的切线方程为，斜率， 联立，可得， 所以两切线的交点在定直线上，准线上，且斜率相乘， 则在M，N两点处的切线互相垂直，故D选项正确. 故选：AD. 37．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线：（）的焦点为，过拋物线上一点作两条斜率之和为0的直线，与的另外两个交点分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．的准线方程是 B．直线的斜率为定值 C．若圆与以为半径的圆相外切，则圆与直线相切 D．若的面积为，则直线的方程为 【答案】AC 【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，结合斜率坐标公式及抛物线定义，逐项计算判断得解. 【详解】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程，A正确； 设，显然，直线的斜率， 同理直线的斜率，由，得，解得， 因此直线的斜率，B错误； 圆，令圆的半径为，由圆与圆相外切，得， 而，于是，即圆的圆心到y轴的距离为圆的半径，则圆与直线相切，C正确； 由消去得：，，，， ，而点到直线的距离， 则的面积，D错误. 故选：AC 三、填空题 38．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】分或(）两种情况讨论，由面积列方程即可求解 【详解】由题意得，当时，，解得； 当或时，，解得， 所以抛物线的方程是或. 故答案为：或. 39．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A.若在x轴正方向上的投影为，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用在x轴正方向上的投影为，求得点的坐标，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【详解】 因为在x轴正方向上的投影为，则，且，则， 所以， 则. 故答案为： 40．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 【答案】6 【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果. 【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得， 所以． 故答案为：6. 41．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故答案为：8. 四、解答题 42．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义，列式求解即可； （2）设点，根据中点坐标运算得，代入得，即可求得动点的轨迹方程. 【详解】（1）联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. （2）设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. 43．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【详解】（1）设，由可得，， ∴， ∴， 即，∵， 解得：； （2） ∵，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，， ∴，， ∵，∴， 即， 亦即， 将代入得， ，， ∴，且，解得或， 设点到直线的距离为， ∴， ， ∴的面积， 而或， ∴当时，的面积． 44．（23-24高二下·广东广州·期中）已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； (3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义即得动圆圆心的轨迹方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，再由计算可得； （3）根据题设先求出的解析式，可将距离最小值问题转化为二次函数最小值问题，分类讨论即得. 【详解】（1）因为动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切， 即点到定点的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上， 所以由抛物线定义知：圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线， 抛物线方程形如，又，则， 故圆心的轨迹方程为． （2）如图，由题知，直线的方程为， 由，解得或，所以，， 所以.    （3）设，则，又， 则， 因二次函数的对称轴为， 故当，即时，，此时； 当，即时，，此时. 所以. 45．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用点是曲线上一点，结合抛物线的定义整理计算即可; （2）结合题意转化为，借助韦达定理得或，再借助弦长公式计算即可. 【详解】（1）由抛物线，可得焦点为， 由抛物线的定义可得， 而，所以，解得或. 当时，;当时，. 所以点的坐标为或. （2）设，联立方程，得， 所以，即, 且 由题知，， 整理得， 即，解得或， 当时，； 当时，. 综上所述：弦长的值为或. 46．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知两个定点A、B的坐标分别为和，动点P满足（O为坐标原点）． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设点为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用向量知识，结合，求出即可； （2）设，则， 运用二次函数单调性解题即可. 【详解】（1）设，，，， ，．因为， 则，所以，所以轨迹E的方程为． （2）设轨迹E：上任一点为，所以， 所以， 令，对称轴为：， 当，即时，在区间严格增，所以当时，取得最小值，即的最小值为，所以的最小值为； 当，即时，在区间严格减，在区间严格增， 所以当时，取得最小值，即的最小值为，所以的最小值为， 所以    47．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，. (1)求和圆的方程； (2)过上一点作圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)的方程为，圆的方程为 (2)直线与圆相切，理由见解析 【分析】（1）根据题意求得两点的坐标，从而求得，进而得解； （2）根据题意得到直线，的方程，再利用直线与圆相切的性质推得是方程的两个根，从而利用韦达定理求得点到直线的距离为圆的半径，由此得解. 【详解】（1）由题意知直线的方程为， 联立，解得，则或， ，则， 的方程为，直线的方程为， 又直线与圆相切，圆的半径为2， 故圆的方程为. （2）设上三点，显然， 直线的斜率都是存在的， 直线的斜率， 直线的方程为， 同理，的方程为， 的方程为， 圆与直线相切，， 化简得：， 同理，圆与直线相切，可得， 所以是方程的两个根， 由韦达定理得，， 点到直线的距离， 直线与圆相切. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$