空间几何中的向量方法教案-2023届高三数学一轮复习

空间几何中的向量方法 编写人： 审核人：高三数学组 一、学习目标 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、二面角的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 二、学习重难点 重点：向量方法解决直线与直线、直线与平面、二面角的夹角的计算问题； 建立空间直角坐标系；找点的坐标. 难点：判断二面角的余弦值与两平面法向量夹角余弦值的关系. 三、教学过程 1.知识点梳理 回顾：线面平行的判定定理和性质定理？面面平行的判定定理和性质定理？ 线面垂直的判定定理和性质定理？面面垂直的判定定理和性质定理？ 如何求平面的法向量？如何建立空间直角坐标系？ 知识点1　两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ 范围 求法 cos θ＝ 知识点2　直线与平面所成的角 如图所示，设直线l的方向向量为e， 平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝ ． 知识点3　二面角 (1)如图①，AB，CD分别是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 想一想： 如何判断二面角的余弦值与两平面法向量夹角余弦值的关系？ 2.合作探究 类型一：求异面直线所成的角 例1如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．30°　　　B．45° C．60° D．90° 想一想: 求异面直线所成的角的方法有哪些？ 如何用坐标法求异面直线所成的角？ 变式1： 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值． 类型二：求直线与平面所成的角 例2 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点，侧面AA1C1C是菱形，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E. (1)证明四边形BB1ED为矩形； (2)若AB与平面AA1C1C所成角的正切值为， 求CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值． 想一想： 如何用坐标法求直线与平面所成的角？如何求B1点的坐标？ 变式2: 如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 类型三：求二面角的大小 例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，平面底面ABCD，BC//AC，，，，E是PD的中点. (1)求证：底面ABCD； (2)求二面角B-AC-E的余弦值. 想一想： 如何用坐标法求二面角的余弦值？ 变式3: 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，． （1）证明平面； （2）设二面角为，求与平面所成角的大小. 4、 课堂小结 五、随堂检测 1.如图，在四棱锥A­BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE＝3，AB＝CB＝AC＝2DE＝2，则异面直线DC与AE所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 2.如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, 底面 ,是的中点. （1)求证:平面平面; （2）若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值. 3.已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4. (1)求证：BD⊥A1C； (2)求二面角A­A1C­D1的余弦值； (3)在线段CC1上是否存在点P，使平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 六．作业:训练45 空间几何中的向量方法 1 学科网（北京）股份有限公司 $