第一章 空间向量与立体几何 本章总结(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,平面A1BD 与平面ABCD 夹角的正弦值为 ( ) A.32 B.22 C. 6 3 D.13 4.如图,在三 棱 锥 P-ABC 中, AB ⊥BC,AB=BC= 1 2PA , 点O,D 分别是AC,PC 的中 点,OP ⊥ 底面ABC,则直线 OD 与平面PBC 所成角的正弦值为 . 5.如图所示,正方形ACDE 所在的平面与平面 ABC垂直,M 是CE与AD 的交点,AC⊥BC, 且AC=BC. (1)求证:AM ⊥ 平面EBC; (2)求直线AB 与平面EBC 所成角的大小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 032 第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 空间向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作基向量,并 用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体 几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所 求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,表 示所需的向量,再对照目标,将不符合目标要求 的向量作新的调整,如此反复,直到所有向量都 符合目标要求. [例1] 如图所示,在平行 六面体ABCD-A1B1C1D1 中, 以顶点A 为端点的三条棱长度 都为1,且两两夹角为60°. (1)求AC1 →的模; (2)求BD1 →与AC→夹角的余弦值. [分析] 结合图形,充分运用空间向量加 法和数乘向量的运算律即可. [解] 记AB→=a,AD → =b,AA1 → =c,则 |a|=|b|=|c|=1,<a,b>= <b,c>= <c, a>=60°, ∴a·b=b·c=c·a= 1 2. (1)|AC1 → |2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2× 1 2+ 1 2+ 1 2 =6, ∴|AC1 → |= 6. (2)BD1 → =b+c-a,AC → =a+b, ∴|BD1 → |= 2,|AC → |= 3, BD1 →·AC→=(b+c-a)·(a+b) =b2-a2+a·c+b·c=1, ∴cos<BD1 →,AC→>= BD1 →·AC→ |BD1 → ||AC → | = 6 6. [变式训练1] 在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都等 于1,且两两夹角都为45°,则|AC1 → |= . 空间向量与线面位置关系 证明平行问题,除了应用传统的线面平行 的判定定理外,还可以利用向量共线及平面的 法向量进行证明. 证明垂直问题,除了应用传统的垂直问题 的判定定理外,利用向量数量积进行判断,也是 非常有效的方法. [例2] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为A, PA=AB,点M 在棱PD 上,PB∥平面ACM. (1)试确定点M 的位置; (2)设点E在棱PC上,当点E在何处时,使 得AE ⊥ 平面PBD? [分析] (1)设AC∩BD=O,则O 是BD 的中 点,设 点 M 为PD 中 点,在 △PBD 中, PB ∥OM,由此能够确定M 的位置使PB∥平 面ACM. (2)以A 为原点,AB,AD,AP分别为x轴、 y 轴、z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能 够求出当点E 为PC 中点时,AE⊥平面PBD. [解] (1)设AC∩BD=O,则O 是BD 的 中点,设 点 M 为PD 中 点,∵ 在 △PBD 中, PB ∥ OM,OM ⊂ 平 面 ACM,∴PB ∥ 平 面ACM. 故当点M 为PD 中点时,PB∥平面ACM. (2)如图,以A 为原点, AB,AD,AP 所在直线分别 为x 轴,y轴,z轴,建立空间 直角坐标系,设PA=AB= 1,则B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),C(1,1,0), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 033 ∴PB→= (1,0,-1),PD → = (0,1,-1), 设平面P