圆锥曲线专题 练习-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线专题练习 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线L:y=kx+1和椭圆C： + =1始终有交点，求m的取值范围 解：根据直线L:y=kx+1与椭圆C： + =1过动点（0，）,且m4，如果直线L:y=kx+1和椭圆C： + =1始终有交点，则1，且m4，即1m且m4。 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线L与直线N：交于A,B两点。在x轴上是否存在一点E(,0),使得ABE是等边三角形，若存在，求出x₀：若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线 l:y=k(x+1), k≠0, A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)。 由 消y整理，得k²x²+(2k²-1)x+k²=0 ① 由直线和抛物线交于两点，得Δ=(2k²-1)²-4k⁴=-4k²+1>0 即 ② 由韦达定理，得： 则线段AB的中点为 线段的垂直平分线方程为： y=0,得 则 ∵△ABE为正三角形, 到直线AB的距离d为 解得 （满足②式） 此时 题型三：动弦过定点问题 例题3、已知椭圆 的离心率为 且在 x轴上的顶点分别为 A₁(-2,0),A₂(2,0)。 (I) 求椭圆的方程 (Ⅱ)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点 T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线 PA₁，PA₂分别与椭圆交于M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点? 并证明你的结论 解：(I) 由已知椭圆C 的离心率 则得 从而椭圆的方程为 (Ⅱ) 设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),直线 A₁M的斜率为k₁,则直线 A₁M的方程为 y=k₁(x+2), 由消y 整理得 解得：和x₁ 是方程的两个根. 则 即点M的坐标为 同理，设直线 A₂N的斜率为k₂，则得点N的坐标为 ∵直线 MN的方程为： ∴令 y=0, 得 将点 M、N的坐标代入，化简后得： 又 椭圆的焦点为 即 故当 时，MN过椭圆的焦点. 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、 已知点A、B、C 是椭圆 E 上的三点，其中点 是椭圆 的右顶点，直线 BC 过椭圆的中心O，且 如图。(1)求点C的坐标及椭圆 E的方程； (Ⅱ)若椭圆 E上存在两点 P、Q，使得直线PC与直线 QC关于直线 对称，求直线PQ的斜率。 解: 且BC过椭圆的中心O 是椭圆的右顶点， 则椭圆方程为： 将点 代入方程，得b²=4, ∴椭圆 E 的方程为 又∵ 点C的坐标为 (Ⅱ)∵ 直线 PC与直线QC 关于直线 对称， ∴设直线 PC的斜率为k，则直线QC 的斜率为-k，从而直线 PC的方程为： 即 由 消y， 整理得： 是方程的一个根， 即 同理可得： 则直线PQ的斜率为定值 题型五：共线向量问题 例题5、设过点 D(0，3)的直线交曲线 于P、Q两点,且 求实数/ 的取值范围。 解:设 即 判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：y=kx+3,k≠0, 由 消y整理后，得 Q是曲线M上的两点 ∴△=(54k)²-4×45(4+9k²)=144k²-80≥0 即 9k²≥5 ① 由韦达定理得： 即 ② 由①得 代入②，整理得 解之得 当直线 PQ的斜率不存在，即x=0时，易知λ=5或 总之实数的取值范围是 题型六：面积问题 (1)求椭圆C的方程； (Ⅱ) 设直线 l与椭圆 C交于 A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 求△AOB面积的最大值。 解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，依题意 ∴所求椭圆方程为 (Ⅱ)设A(x₁ ,y₁), B(x₂, y₂)。(1)当AB⊥x轴时, (2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB 的方程为 y=kx+m, 由已知 得 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得 (3k²+1)x²+6kmx+3m²-3=0. 当且仅当 即 时等号成立。当k=0时， 综上所述 ∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值 题型七：弦或弦长为定值问题 例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线 x²=2py(p>0) 相交于 A、B两点。 (Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线 l，使得1被以 AC为直径的圆截得弦长恒为定值