利用Sn与的an关系求通项讲义-2023届高三数学一轮复习

利用与的关系求通项 利用与的关系 典例1.已知数列的前项和，求数列的通项公式； 练习 1.设为数列的前项和，且.求数列的通项公式； 2.已知数列的前项和为，则的通项公式为______ 典例2已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式； 练习 1.已知数列的前项和为，且.求数列的通项公式求数列的通项公式 2．已知数列的前项和满足：，（）.求数列的通项公式； 典例3已知正项数列的前n项和为，且和满足：.求的通项公式； 练习 1．已知正项数列的前项和为，且，.求数列的通项公式； 2.正项数列的前和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 典例4已知正项数列满足．求数列的通项公式； 练习 1.已知数列满足，求数列的通项公式． 2.(2017年高考数学课标Ⅲ卷)设数列满足． (1)求的通项公式; (2)求数列 的前项和． 巩固练习 1.已知数列的前项和. 若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和为，且.求数列的通项公式； 3.已知数列满足，求的通项公式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用与的关系求通项 利用与的关系 依据求出. 典例1.已知数列的前项和，求数列的通项公式； 【答案】 【分析】利用时,可求得通项公式; 【详解】解：当时，；当时，； 所以：； 【点睛】本题考查了由与的递推关系式求通项公式,数列前项和的最小值,易错点警示: 的适用条件是,求出后要检验是否成立,如果不成立,要写成分段的形式,属于基础题. 练习 1.设为数列的前项和，且.求数列的通项公式； 【答案】 【分析】由公式，可得答案； 当时，， 当时，，， 两式相减可得：， 检验：当时，，成立，可得数列的通项公式：. 2.已知数列的前项和为，则的通项公式为______ 【答案】 解：当时，， 当时，， 另时，，此式不满足， 所以的通项公式为. 故答案为：. 典例2已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式； 【答案】 【分析】根据 的关系作差即可求解是公比为的等比数列，即可求解. 【详解】， 两式相减得到. 当时，可得， 又，是首项为，公比为的等比数列 的通项公式为. 练习 1.已知数列的前项和为，且.求数列的通项公式求数列的通项公式 【答案】 【分析】由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列； 解：因为，所以当时，，可得； 当时，由可得， 所以，所以. 即是首项为，公比为的等比数列，所以，. 2．已知数列的前项和满足：，（）.求数列的通项公式； 【答案】 【分析】由关系化简求解； ∵ ①当时，，∴ ②当时，∵，∴，∴ ∴数列是以首项为1，公比为2的等比数列 ∴，∴数列的通项公式为. 典例3已知正项数列的前n项和为，且和满足：.求的通项公式； 【答案】 【分析】当时，，时，利用,求得通项公式为； 当时，有，得， 由，有，① ∴，② ①－②得. ∴，化简. ∵，∴. ∴是以1为首项，2为公差的等差数列. ∴. 练习 1．已知正项数列的前项和为，且，.求数列的通项公式； 【答案】； 【分析】由已知，结合的关系可得、，根据等差数列的定义即可写出通项公式. 当时，且，所以. 当时，， 所以， 所以，又， 所以，即是首项为1，公差为3的等差数列，故. 2.正项数列的前和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由证明是等差数列，可求通项； （2）由错位相减法求的通项，再用分组求和求数列的前项和. 【详解】（1）正项数列，当时，由，解得， 由，所以， 所以，即， ， 数列是正项数列，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的正项等差数列， 所以. （2）由， 所以， ， ， 上面两式相减，得， ，即， 所以， . 典例4已知正项数列满足．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】根据，即可得到（），两式作差即可得解； 解：因为，①当时，．②①②得，所以．当时，，也满足上式，所以． 练习 1.已知数列满足，求数列的通项公式． 【答案】. 【分析】当时，得到，进而做差可得到，再检验时，即可求出结果. 【详解】∵， ∴当时，， 两式相减得，∴. 又∵当时，，∴，满足. ∴. 2.(2017年高考数学课标Ⅲ卷)设数列满足． (1)求的通项公式; (2)求数列 的前项和． 【答案】(1)；(2)． 【解析】(1)因为 当时，； 当时，有……① ………………② 两式相减可得，所以，当时， 所以数列的通项公式为，． (2)由(1)可得． 记数列 的前项和为 所以． 【考点】数列通项公式，裂项法求和 【点评】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列．