第36讲 空间中的角度问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第36讲 空间中的角度问题 1.异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)． ②范围：. 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是_0°的角． (2)范围：. 3.二面角与两平面所成角 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角； ③两平面可形成四个二面角，取其较小角称为两平面所成角； ④二面角范围：，两平面所成角范围：. (2)平面和平面垂直的定义： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 4.空间中直线和平面的向量表示 (1)空间直线的向量表示 ①直线的方向向量:与直线平行或在这条直线上的有向线段所表示的非零向量称为直线的方向向量. ②空间直线的向量表达式 是直线l的方向向量，点A，B在直线上且满足，O是空间中的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得.此式称为空间直线的向量表示式. (3)空间平面的法向量 ①定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量. ②平面的法向量的确定:设是平面α内两个不共线向量，为平面α的一个法向量，则可用方程组与赋值法求出平面α的一个法向量. 5.空间夹角的向量表示 (1)异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是，则. (2)直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则. (3)两平面的夹角 若平面的法向量分别是，则平面α与平面β的夹角即为向量的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则. 考点一 定义法求线线、线面、面面角 考点二 向量法求线线、线面、面面角 考点一：定义法求线线、线面、面面角 例1．已知正方体的棱长为1． (1)求异面直线与AC所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连，可证明，根据，得； （2）设与交于，连，可以证明就是二面角的平面角.然后在中，利用余弦定理可求出结果. 【详解】（1）连， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为四边形是正方形，所以， 所以，即异面直线与AC所成角的大小为. （2） 设与交于，连， 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以就是二面角的平面角. 因为正方体的棱长为1，所以，， ， 所以， 所以二面角的余弦值为. 考点二：向量法求线线、线面、面面角 例2．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 例3．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，为的中点. (1)证明：. (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 因为，所以； （2）设平面的法向量为， 则取，可得. 设平面的法向量为， 则取，可得. . 故二面角的平面角的余弦值为. 1．如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小. （2）判断二面角的平面角，并求得角的大小. 【详解】（1）在正方体中，连接， 由于，所以是异面直线与所成的角， 由于三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知， 所以二面角的大小为. 2．（2023·浙江温州·统考二模）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为，连接，由正四面体的性质得，再由线面垂直的判定及性质证明结论； （2）取中点为，连接，由正四面体的性质和二面角的定义知为所求