第35讲 直线、平面垂直的判定与性质（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第35讲 直线、平面垂直的判定与性质 1.直线、平面垂直的判定与性质 定理 文字语言 符号语言 图形语言 作用 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 证明直线与平面垂直 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 证明或判断两条直线平行 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 证明两个平面垂直 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒a⊥β 证明直线与平面垂直 2.常用结论 (1)三线合一定理：在等腰中，，是的中点，则； (2)垂直于同一条直线的两平面平行，即. (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，即. (4)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即. 考点一 证明线线垂直 考点二 证明线面垂直 考点三 证明面面垂直 考点一：证明线线垂直 例1．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动. (2)证明：. 【答案】(2)证明见解析 【分析】（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可. 【详解】（2）证明：平面，， 又，且点是的中点，， 又，，，平面， 又平面，， 由，，，平面， 平面，. 考点二：证明线面垂直 例2．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）如图，在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，∠BAD=60°，平面平面ABCD，，，E为上的一点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得平面，从而，结合，即可证明平面； 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 考点三：证明面面垂直 例3．（2023·陕西榆林·统考三模）如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD． (1)证明：平面平面PCD． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由，，证得平面PAD，则有平面平面PCD． 【详解】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得． 因为底面ABCD，平面ABCD，所以． 因为，平面PAD，所以平面PAD． 因为平面PCD，所以平面平面PCD． 一、解答题 1．如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB． (2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC． 【答案】(2)证明见解析 【分析】（2）由面面垂直的性质得AM⊥平面MBCN，再由线面垂直的性质、判定证BC⊥面AMC，最后由线面垂直的性质证线线垂直即可. 【详解】（2）因为AMND是矩形，所以AM⊥MN． 因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND， 所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC． 因为MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC， 因为AC面AMC，所以BC⊥AC． 2．如图，在底面是菱形的四棱锥中，为中点，，，已知. (1)若，证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由已知可推得为等边三角形，，推得.根据勾股定理，可推得.即可证明平面，根据线面垂直的性质，即可推得线线垂直； 【详解】（1）连结， 由于为中点，且， 所以，为等边三角形，故. 因为，所以. 因为，， 所以. 因为， 在中，有， 则. 又，且平面，平面， 所以平面. 又平面，故. 3．如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设的中点为，得到平面，证得，再由，利用线面垂直的判定定理证得平面，进而证得平面平面； （2）连接，得到，根据，证得，利用线面垂直判定定理证得平面，进而证得. 【详解】（1）证明：设的中点为， 因为点在底面上的射影恰好时点，所以平面， 又因为平面，所以， 又由且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）证明：连接，因为平面，且平面，所以， 在斜三棱柱中，因为， 所以四边形为菱形，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 4．如图1，在四边形ABCD中，，，AE=BE=2CD=2，.将四边形AECD沿AE折起，使得，得到如图2所示的几何体. (1)若G为AB的中点，证明：平面ABE； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取BE的中点O，连接OC，OG，易证四边形C