第33讲 空间几何体的结构（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第33讲 空间几何体的结构 1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱 有一面是多边形,其余各面都是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 图示和 记法 记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 记作棱锥S-ABCD 记作棱台ABCD-A'B'C'D' 分类 直棱柱：侧棱与底面垂直 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱 底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 2.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分 图示和 记法 记作圆柱O'O 记作圆锥SO 记作圆台O'O 3.①球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球 图示及相 关概念 记作球O 球心:半圆的圆心 半径:连接球心和球面上任意一点的线段 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段 ②球的截面性质 a.用一个平面去截一个球,截面是圆面,球心和截面圆心的连线垂直于截面. b.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系: 4.斜二测画法（平面图形） (1)建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面. (2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成 平行于x'轴或y'轴的线段. (3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中的长度为原来的一半. 5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 6.柱、锥、台、球的表面积与体积公式 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V= Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V= Sh 台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S= 4πR2 V= πR3 7.常用结论 (1)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球的半径R=. (2)设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径r=,外接球的半径R=a. (3)若棱锥的侧面中有以同一条边为斜边的两个直角三角形，则该边为该棱锥的外接球的直径. (4)若棱锥有一侧棱垂直于底面，该侧棱长度为，底面外接圆的半径为，则其外接球的半径满足：. (5)若棱锥有两个互相垂直的侧面，这两个侧面的外接圆的半径分别为，交线长度为，则其外接球的半径满足：. 考点一 几何体体积的求法 考点二 几何体表面积的求法 考点三 几何体的“内切”，“外接”球问题 考点一：几何体体积的求法 例1．（2023·陕西商洛·统考二模）已知某圆锥的高为，体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，再根据题意求得的值，结合勾股定理求得的值，进而即可求得圆锥的侧面积． 【详解】设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l， 由，得， 所以， 所以该圆锥的侧面积． 故选：B． 例2．已知在春分或秋分时节，太阳直射赤道附近.若赤道附近某地在此季节的日出时间为早上6点，日落时间为晚上18点，该地有一个底面半径为的圆锥形的建筑物，且该建筑物在白天中恰好有四个小时在地面上没有影子，则该建筑物的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，求出圆锥的轴截面的顶角，利用三角形知识求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知，一天有12个小时的日照时间，因为，所以圆锥轴截面的顶角， 即轴截面为等边三角形，因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积为，即该建筑物的体积为. 故选：B 考点二：几何体表面积的求法 例3．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧