第37讲 空间中的距离问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第37讲 空间中的距离问题 1.等体积法求点面距离 若三棱锥中，的面积及其对应的高与的面积可以求得，则点到面的距离满足，解方程可得. 2.空间距离的向量表示 (1)点到直线的距离 已知向量是直线l的单位方向向量，A是直线l上的定点，则向量在向量上的投影向量为，所以点P到直线l的距离为. (2)点到平面的距离 已知平面α的一个法向量为，A是平面α内的点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此点P到平面α的距离为. 考点一 等体积法求点面距离 考点二 向量法求空间距离 考点一：等体积法求点面距离 例1．在三棱锥P—ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，AP=AC=2，AB=1， (1)求三棱锥P—ABC的侧面积； (2)求点A到平面PBC的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算三个侧面的面积即可； （2）利用等积法即可得到点A到平面PBC的距离. （1）∵PA⊥面ABC， ∴PA⊥AB ，PA⊥AC，又AB⊥AC， ∴均为直角三角形， 又AP=AC=2，AB=1， ∴ ∴为等腰三角形， ∴，， ， ∴； （2）由（1）知，， ∴， 设点A到平面PBC的距离为， 则， ∴ 即点A到平面PBC的距离. 考点二：向量法求空间距离 例2．如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 1．（2021·陕西西安·统考二模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是棱长为2的菱形，平面 平面，是的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)连结，判断 为等边三角形，证明，根据面面垂直的性质判断得到平面. (2)等体积法转化求解. 【详解】（1） 证明：连结， ∵底面是菱形，，∴为等边三角形， 又是的中点，∴， ∵平面 平面，平面 平面，平面， ∴平面. （2）设点到平面的距离为，易知， 在中，，，∴， 由，得，解得, 点到平面的距离为. 2．（2023·陕西商洛·统考二模）如图，在直三棱柱中，D是AC的中点． (1)证明：∥平面． (2)若，求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接交于点E，得到E是的中点，连接DE，得到，进而结论得证； （2）先根据题意求得，再利用等体积法计算即可得到点A到平面的距离． 【详解】（1）连接交于点E，则E是的中点， 连接DE，又D是AC的中点，所以． 又平面，且平面，所以平面． （2）因为D为等腰直角斜边AC的中点， 所以，， 所以， 又，，， 所以，所以， 易证平面，所以， 因为，所以， 设点A到平面的距离为d，所以三棱锥的体积， 又，得，解得． 3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，． (1)证明：平面平面PBC． (2)若，，求点D到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面PBC，然后根据面面垂直的判定定理即得； （2）根据面面垂直的性质定理结合条件可得三棱锥的体积，然后根据等积法即得. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，， 过点C作于E，则，，， 所以， 则，所以． 又，，BC，平面PBC， 所以平面PBC，又平面ABCD， 所以平面平面PBC； （2）连接BD，由（1）知平面平面PBC，因为，平面平面，平面， 所以平面BCD． 又，所以， 所以三棱锥的体积． 在中，因为，所以． 设点D到平面PBC的距离为d，所以三棱锥的体积． 由，得， 解得． 4．（2023·广西南宁·统考二模）如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求到平面的距离 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接和，通过证明，即可证明结论； （2）连接，取中点，连接.通过证明面，面，可得，，后由等体积法可得答案. 【详解】（1）证明：取中点，连接和. ∵为中点，∴且. ∵且， ∴且