(练习)24 易错强化练(四) 不等式的性质与均值不等式-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

易错强化练(四)　不等式的性质与均值不等式 练易错 易错点1| 应用不等式的性质时出错 [防范要诀] 不等式的性质与等式的性质有区别，尤其是在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变；在利用同向不等式的可加性与可乘性时，忽视了可乘性要求不等式均大于零． [对点集训] 1．给出下列四个命题： ①若a>b，c>d，则a－d>b－c； ②若a2x>a2y，则x>y； ③若a>b，则>； ④若<<0，则ab<b2． 其中正确的命题有________．(填序号) ①②④　①由c>d得－d>－c，同向不等式相加得a－d>b－c，故①正确；②若a2x>a2y，显然a2>0，所以x>y成立，故②正确；③若a>b，则>不一定成立，如a＝1，b＝－1，故③不正确；④若<<0，则b<a<0，所以b2－ab＝b(b－a)>0，即ab<b2，故④正确． 易错点2| 忽略均值不等式的条件致误 [防范要诀] (1)在用均值不等式≤求解问题时，其首要条件是a>0，b>0，但是往往会受思维定式的影响，误认为所给字母为正． (2)在利用均值不等式≤解题时，如果a＋b或者ab不是定值，还继续运用公式求解，会造成错误． (3)在用均值不等式≤时，不要忽视“＝”成立的条件，否则会造成错误． [对点集训] 2．设y＝2x＋－1(x<0)，则y的取值范围为________． (－∞，－2－1]　∵x<0，∴－x>0，则(－2x)＋≥2＝2． 即y＝－－1≤－2－1． 当且仅当－2x＝－，即x＝－时取最大值． 3．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值． 解：由a2＋＝1得a2＋＝， ∴a＝·a·≤·＝×＝， 当且仅当即时等号成立． ∴a的最大值为． 练疑难 4．下列命题中一定正确的是(　A　) A．若a>b且>，则a>0，b<0 B．若a>b，b≠0，则>1 C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b且ac>bd，则c>d 5．已知x<0，则y＝4x＋有(　　) A．最大值4 B．最大值－4 C．最小值4 D．最小值－4 B　∵x<0，∴y＝4x＋＝－≤－2＝－4， 当且仅当－4x＝，即x＝－时，取等号． ∴y＝4x＋(x<0)有最大值－4． 6．若a>1，则＋的最小值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．2 A　＋＝＋＝＋＝(－1)＋＋1≥2＋1＝3． 当且仅当－1＝，即a＝4时，取等号． ∴＋的最小值为3． 7．已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题正确的是(　　) A．如果a>b，那么> B．如果ac<bc，那么a<b C．如果a>b，那么< D．如果a>b，那么> D　举反例进行判断，取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足A，B，C中的条件．对A有<，故A错；对B有a>b，故B错；对C有>，故C错；对于D，∵c≠0，∴>0，由不等式的性质知，选项D正确． 8．下列不等式：①a2＋3>2a；②a2＋b2>2(a－b－1)；③x2＋y2>xy．其中恒成立的不等式的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，∴a2＋3>2a，即①正确；∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，即②错误；∵x2＋y2－xy＝＋y2≥0，即③错误，选B． 9．(多选题)下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋＞x(x＞0) B．x＋≥2(x＞0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．＞1(x∈R) BC　对于A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；对于B，当x＞0时，不等式成立，所以B一定成立；对于C，不等式显然恒成立；对于D，因为x2＋1≥1，所以0＜≤1，所以D不成立．故选BC． 10．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．当x＞0时，＋≥2 B．当x＞2时，x＋的最小值是2 C．当x＜时，y＝4x－2＋的最小值为5 D．当x＞0，y＞0时，＋≥2 AD　在A中，当x＞0时＞0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，x＞2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x＞2，等号取不到，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x＜，所以5－4x＞0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确． 11．若－10<a<b<8，则|a|＋b的取值范围是________． (－10，18)　∵－10<a<8，∴0≤|a|<10， 又－10<b<8， ∴－10<|a|＋b<18． 12．已知x≤1，y1＝3x3，y2＝3x2－x＋1，则y1与y2的大小关系是y1______y2． ≤　y1－y2＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x