(练习)23 课时分层训练(十七) 均值不等式及其应用(第2课时)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

课时分层训练(十七)　均值不等式及其应用(第2课时) 知识点1　利用均值不等式求最值 1．若y＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 C　y＝x＋＝x－2＋＋2. ∵x>2，∴x－2>0. ∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立． 又y在x＝a处取最小值，∴a＝3. 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A. B． C. D． A　∵0<x<1，∴1－x>0， 则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，取等号． 3．已知y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝(　　) A．－3 B．2 C．3 D．8 C　y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x>－1，得x＋1>0，>0，所以由均值不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3. 4．已知a>0，b>0，＋＝4，则a＋b的最小值为(　　) A．4 B．2 C．1 D． C　＋＝4，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)·＝≥(2＋2)＝1，当且仅当a＝b时取等号，故选C. 5．若a<1，则a＋的最大值是(　　) A．3 B．a C．－1 D． C　y＝a＋＝a－1＋＋1. ∵a<1，∴a－1<0. ∴y＝－＋1≤－2＋1＝－1， 当且仅当1－a＝，即a＝0时，取等号， ∴a＋的最大值为－1. 知识点2　均值不等式的实际应用 6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处 A　设仓库到车站的距离为d千米(d>0)，则y1＝，y2＝k2d，由题意得2＝，8＝10k2， ∴k1＝20，k2＝0.8，∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8， 当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立．故选A. 7．要建造一个容积为18 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，那么水池的最低造价为________元． 5 400　设池底一边长为x m，则另一边长为 m， 则总造价为y＝9×200＋×150≥1 800＋2×150＝5 400. 当且仅当＝4x，即x＝3时，取等号． 所以水池的最低造价为5 400元． 知识点3　均值不等式的综合应用 8．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 B　由＋≥得m≤(a＋3b)·＝＋＋6. 又＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝时等号成立． ∴m≤12，∴m的最大值为12. 9．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1，则＋的最小值为________． 25　·(4x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号． 所以＋的最小值为25. 10．y＝(x>－2)的取值范围为________． [3，＋∞)　y＝＝＝(x＋2)＋＋1， 当x>－2，即x＋2>0时，y≥2＋1＝3(当且仅当x＝－1时取等号)． 11．(多选题)已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，则a，b的值可以是(　　) A．　　　　 B． C． D． AD　由x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 当且仅当＝时取等号． 故x＋y的最小值为(＋)2＝18， 即a＋b＋2＝18，① 又a＋b＝10，② 由①②可得或故选AD. 12．(多选题)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则使上述结论成立的实数m的取值可以是(　　) A．0≤m<2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜0 AD　∵x>0，y>0且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋ ≥4＋2＝8，当且仅当＝， 即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立， 只需(x＋2y)min>m2恒成立， 即8>m2，解得－2<m<2.故选AD. 13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是(　　) A．2　 B．3　 C．4　 D． C　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2＝(＋1)2. ∵不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(＋1)2≥9，即＋1≥3. ∴≥2，a≥4，即正实数a的最小值为4.故选C. 14．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则