(练习)21 易错强化练(三) 不等关系与一元二次不等式-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

易错强化练(三)　不等关系与一元二次不等式 练易错 易错点1| 多次利用不等式相加的性质导致范围改变 [防范要诀] 在求解某些有关联的未知数范围时，因多次使用不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)而导致所给变量的范围改变，出现错误，因此要尽可能少地运用不等式的可加性求范围． [对点集训] 1．已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求2x－3y的取值范围． 解：设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴∴ ∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)． ∵－1<x＋y<4，∴－2<－(x＋y)<. 又∵2<x－y<3，∴5<(x－y)<. ∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8，即2x－3y∈(3，8)． 易错点2| 错用不等式的性质而致误 [防范要诀] 利用不等式的性质时，要注意应严格利用题设中的条件与性质定理、推论进行证明，不能随意引用一些简易结论作为论证的依据，否则会造成论证不严格． [对点集训] 2．若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)．其中成立的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　①项，∵a>0>b，c<d<0， ∴ad<0<bc，故①不成立． ②项，∵a>0>b>－a，∴a>－b>0. ∴＋<＋＝<0，故②成立． ③项，∵c<d<0，∴－c>－d. 又∵a>b，∴a－c>b－d，故③成立． ④项，∵c<d<0，∴d－c>0. 又∵a>b，∴a(d－c)>b(d－c)，故④成立． 综上所述，成立的有3个． 3．给出下列命题，其中正确的是________．(只填序号) ①若a>b，则a2>b2；②若a－d>b－c，则a>b，c<d；③若a<b，则<；④若－2<a<3，则4<a2<9；⑤若>，则<. ③⑤　①错误，例如a＝1，b＝－3；②错误，例如a＝1，b＝3，c＝2，d＝－1；③正确，因为－＝<0，所以<；④错误，由－2<a<3应得0≤a2<9；⑤正确，由于>，所以a>b≥0，于是a＋1>b＋1>0，故<. 易错点3| 忽视对参数的分类讨论而致误 [防范要诀] 对含参数的一元二次不等式进行讨论，应注意三个方面：①二次项系数，②Δ的大小，③两根的大小． 但未必在这三个方面都进行讨论，是否讨论要根据需要而定． [对点集训] 4．已知不等式ax2－2ax＋1>0对一切x∈R都成立，求实数a的取值范围． 解：当a＝0时，有1>0恒成立． 当a≠0时，∵ax2－2ax＋1>0对一切x∈R都成立， ∴解得0<a<1. 综上所述，实数a的取值范围为[0，1)． 5．解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)． 解：①当Δ＝4a2－12>0，即a>或a<－时，方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根， 即x1＝＝a－， x2＝＝a＋， 且x1<x2，所以不等式的解集为 {x|x≤a－或x≥a＋}； ②当Δ＝4a2－12<0，即－<a<时，方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R； ③当Δ＝4a2－12＝0，即a＝±时，方程x2－2ax＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R. 综上所述，当a<－或a>时，不等式的解集是{x|x≤a－或x≥a＋}； 当－≤a≤时，不等式的解集是R. 练疑难 6．(多选题)下列结论成立的是(　　) A．若ac>bc，则a>b B．若a>b，c<d，则a＋c>b＋d C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a<b<0，则a2>b2 CD　对于A，取a＝1，b＝2，c＝－1，此时ac>bc，但a<b，故A不成立；对于B，∵a>b，c<d，∴a－c>b－d，得不出a＋c>b＋d，故B不成立；对于C，∵c>d，∴－d>－c，又a>b，∴a－d>b－c，故C成立；对于D，∵a<b<0，∴－a>－b>0， ∴(－a)(－a)>(－b)(－b)，即a2>b2，故D成立．故选CD. 7．(多选题)设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则下列关系式成立的是(　　) A．M⊆N B．M∩N＝N C．M∪N＝N D．N⊆M AC　因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，所以M⊆N，M∪N＝N.故选AC. 8．已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，则3a－2b的取值范围是(　　) A．[－6，14] B．[－2，14] C．[－6，10] D．[－2，10] D　设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， ∴∴ ∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)． ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3， ∴－2≤(a＋b)＋(a－b)≤10. ∴3a－2b∈[－2，10]． 9．已知二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2<x<1