(教案)第3章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 学习任务目标 1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系． 2．会求函数的零点． 3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集． 1．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是________． 1　提示：将原不等式化为x2＋(m－2)x＜0，即x(x＋2m－4)＜0，故0，2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1． 2．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________． {－1，3}　提示：把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x． 因为关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3，1}，所以方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3． 所以关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1，3}． 知识点一　函数的零点 (1)零点的概念：一般地，如果函数y＝f (x)在实数α处的函数值等于零，即f (α)＝0，则称α为函数y＝f (x)的零点． (2)零点的意义： [微训练] 1．函数y＝1＋的零点是(　　) A．(－1，0) B．－1 C．1 D．0 B　解析：令1＋＝0，解得x＝－1．故选B． 2．函数f (x)＝2x2－4x－3的零点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 C　解析：由f (x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0，所以方程2x2－4x－3＝0有两个不相等的实根，即f (x)有两个零点． 知识点二　三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 不等 式的 解集 y＞0 {x|x＜x1或x＞x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [微训练] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数f (x)＝x2＋2x＋1－a2(a≠0)不一定存在零点． (　　) ×　提示：因为Δ＝4－4(1－a2)＝4a2＞0，所以函数有两个零点． (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． (　　) ×　提示：因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R． (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}． (　　) ×　提示：当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立． 2．不等式－x2＋8x－3>0的解集为________． {x|4－<x<4＋} 　解析：因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0， 所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋， 又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}． 函数的零点 观察函数y＝f (x)，x∈[－3，3]的图象，并思考以下问题： 探究1：函数y＝f (x)有几个零点？ 提示：函数y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，所以函数y＝f (x)有三个零点． 探究2：函数y＝f (x)在(0，3)上有几个零点？ 提示：函数y＝f (x)在(0，3)的图象与x轴有1个交点，所以函数y＝f (x)在(0，3)上有1个零点． 【例1】求函数f (x)＝x3－7x＋6的零点． 解：令f (x)＝0，即x3－7x＋6＝0， 所以(x3－x)－(6x－6)＝0， 所以x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3， 所以函数f (x)＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3． 【类题通法】 求函数零点的两种方法 (1)令f (x)＝0，方程f (x)＝0的根就是函数的零点； (2)画出函数f (x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． 1．函数f (x)＝所有零点的集合为(　　) A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} C