(教案)第3章 3.1 3.1.3 函数的奇偶性-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

3.1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 学习任务目标 1．理解奇函数、偶函数的定义． 2．了解奇函数、偶函数图象的特征． 3．掌握判断函数奇偶性的方法． 1．已知f (x)＝3x，画出函数图象，并求f (2)，f (－2)，f (－x)． 提示：图象如图： f (2)＝6，f (－2)＝－6，f (－x)＝－3x． 2．已知g(x)＝2x2，画出函数的图象，并求g(1)，g(－1)，g(－x)． 提示：图象如图： g(1)＝2，g(－1)＝2，g(－x)＝2x2． 知识点一　函数的奇偶性 前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D 条件 f (－x)＝f (x) f (－x)＝－f (x) 结论 则称y＝f (x)为偶函数 则称y＝f (x)为奇函数 [微训练] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇函数的图象一定过原点． (　　) ×　提示：不一定，如函数f (x)＝． (2)如果定义域内存在x0，满足f (－x0)＝f (x0)，则函数f (x)是偶函数． (　　) ×　提示：不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立． (3)若对于定义域内的任意一个x，都有f (x)＋f (－x)＝0，则函数f (x)是奇函数． (　　) √　提示：若f (x)＋f (－x)＝0，则f (－x)＝－f (x)． 2．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 C　解析：因为奇函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝0，即a＝1． 知识点二　奇函数、偶函数的图象特征 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数． [微训练] 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　D B　解析：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图象都不具有奇偶性． 2．已知函数f (x)是定义域为R的偶函数，若f (2)＝4，则f (－2)＝________． 4　解析：函数f (x)是定义域为R的偶函数，则f (－x)＝f (x)．又因为f (2)＝4，则f (－2)＝f (2)＝4． 函数奇偶性的判断 1．函数f (x)＝|x|＋1是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 B　解析：显然f (x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数． 2．已知函数y＝f (x)，x∈(－a，a)，F (x)＝f (x)＋f (－x)，则F (x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 B　解析：显然F (x)的定义域为(－a，a)，关于原点对称，∀x∈(－a，a)，都有－x∈(－a，a)，且F (－x)＝f (－x)＋f (x)＝F (x)．所以F (x)是偶函数． 3．(多选题)设函数f (x)，g(x)的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f (x)·g(x)是奇函数 B．|f (x)|·g(x)是偶函数 C．f (x)·|g(x)|是偶函数 D．|f (x)·g(x)|是偶函数 ABD　解析：因为f (x)，g(x)的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)．对于A，f (－x)·g(－x)＝－f (x)·g(x)，函数是奇函数，故A正确；对于B，|f (－x)|·g(－x)＝|f (x)|·g(x)，函数是偶函数，故B正确；对于C，f (－x)·|g(－x)|＝－f (x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C错误；对于D，|f (－x)·g(－x)|＝|f (x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确． 【类题通法】 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图象法：此法多用在解选择题、填空题中． 奇偶函数图象的应用 观察以下两个函数图象的对称性，探究下列问题： 探究1：奇函数的图象关于原点对称，那一定过原点吗？ 提示：不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，否则图象不过原点． 探究2：偶函数的图象一定与y轴相交吗？ 提示：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝为偶函数，但图象与y轴不相交． 【例1】(1)如图1，给出奇函数y＝f (x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f (3)的值． (2)如图2，给出偶函数y＝g(x)的局部图象，试