(教案)第3章 3.1 3.1.2 函数的单调性-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

3.1.2　函数的单调性 第1课时　单调性的定义与证明 学习任务目标 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性． 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间． 3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值． (1)对于函数y＝kx＋b(k≠0)，当k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随着x的增大而减小． (2)对于函数y＝x2＋2x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝－1，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大． 知识点一　函数单调性的概念 增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，且I⊆D： 如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时 都有f (x1)＜f (x2) 都有f (x1)＞f (x2) 结论 y＝f (x)在I上是增函数(也称在I上单调递增) y＝f (x)在I上是减函数(也称在I上单调递减) 图示 [微训练] 1．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　) A．y＝|x|＋2 B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4 A　解析：由增函数和减函数的定义可知选项B、C、D的函数在区间(0，1)上为减函数，选项A的函数在区间(0，1)上为增函数． 2．函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递减，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有(　　) A．f (x1)<f (x2) B．f (x1)＞f (x2) C．f (x1)＝f (x2) D．以上都有可能 B　解析：因为函数y＝f (x)在(a，b)上单调递减，且x1<x2，所以f (x1)>f (x2)．故选B． 知识点二　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f (x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)． [微训练] 已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D B　解析：由单调性定义知只有B选项是单调函数． 知识点三　函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数f (x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D 都有f (x)≤f (x0) 都有f (x)≥f (x0) 结论 则称f (x)的最大值为f (x0)，而x0称为f (x)的最大值点 则称f (x)的最小值为f (x0)，而x0称为f (x)的最小值点 统称 最大值和最小值统称为最值 最大值点和最小值点统称为最值点 [微训练] 函数f (x)＝－x在[1，2]上的最大值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．－ A　解析：因为f (x)＝－x在[1，2]上单调递减，所以f (x)max＝f (1)＝1－1＝0． 定义法证明(判断)函数的单调性 【例1】证明：函数f (x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． 证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)． 因为2<x1<x2， 所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0， 所以f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)． 所以函数f (x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． 【类题通法】 证明函数的单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1<x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以在证明时，不能用特殊值来代替它们)； (2)作差变形：作差f (x2)－f (x1)，并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)； (3)定号：判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则； (4)判断：根据定义作出结论(若x2－x1与f (x2)－f (x1)同号，则函数在给定区间是增函数；异号，则是减函数)． 证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数． 证明：设x1>x2>－1，则 y1－y2＝－＝． 因为x1>x2>－1，所以x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， 所以>0，即y1－y2>0，y1>y2， 所以y＝在(－1，＋∞)上是增函数． 求函数的单调区间 【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f (x)＝－； (2)f