(教案)第3章 3.1 3.1.1 函数及其表示方法-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

3．1　函数的概念与性质 3.1.1　函数及其表示方法 第1课时　函数的概念 学习任务目标 1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． (1)正方形的面积S随边长a的变化而变化，其中，S是因变量，a是自变量． (2)在函数y＝＋中，自变量x的取值范围是(－∞，－4)∪(－4，3]． 知识点一　函数的概念 定义 给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f ，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f 为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值的范围(即非空实数集A) 值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f (x)，x∈A} [微训练] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个集合都可以建立函数关系． (　　) ×　提示：集合A，B应为非空数集． (2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y． (　　) √　提示：符合函数的定义． (3)函数的值域即为集合B． (　　) ×　提示：值域是集合B的子集． 2．函数f (x)＝＋的定义域为(　　) A．[0，2) B．(2，＋∞) C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) C　解析：要使函数f (x)＝＋有意义，只需解得x≥0且x≠2，所以函数f (x)的定义域为[0，2)∪(2，＋∞)． 知识点二　同一个函数 一般地，如果两个函数表达式表示的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f (x)＝x2，x∈A与u＝f (t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数． (　　) √　提示：两个函数定义域相同，对应关系也相同． (2)函数y＝f (x)＝x2，x∈[0，2]与g(x)＝2x，x∈[0，2]表示的是同一个函数． (　　) ×　提示：两个函数的对应关系不同． (3)函数y＝f (x)＝x2，x∈[0，2]与h(x)＝x2，x∈(0，2)表示同一个函数． (　　) ×　提示：两个函数的定义域不同． 函数关系的判断 1．下列表示y关于x的函数的是(　　) A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| A　解析：结合函数的定义可知A正确．故选A． 2．下列各图中，可表示函数y＝f (x)图象的是(　　) A　　　B　　　　C　　　　D D　解析：根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值对应唯一的y值，则只有D满足条件． 3．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　) A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1 B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图： C．A＝R，B＝R，f ：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝ B　解析：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数． 4．已知函数y＝f (x)的值域为{4，16}，解析式为f (x)＝x2，这样的函数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．9 D　解析：函数的值域为{4，16}，即x2＝4，x2＝16，解得x＝±2，x＝±4，故当定义域分别为{2，4}，{－2，4}，{2，－4}，{－2，－4}，{2，－2，4}，{2，－2，－4}，{2，4，－4}，{－2，4，－4}，{2，－2，4，－4}时，都满足题意，所以这样的函数的个数为9． 求函数的定义域 定义域是函数概念的三个要素之一，结合函数的定义域的概念，探究以下问题： 探究1：定义域用什么形式表示？ 提示：定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间形式来表示． 探究2：若函数y＝f (x＋1)的定义域是[1，2]，这里的“[1，2]”是指谁的取值范围？函数y＝f (x)的定义域是什么？ 提示：[1，2]是自变量x的取值范围． 函数y＝f (x)的定义域是x＋1的取值范围[2，3]． 探究3：若函数y＝f (x)的定义域是[1，2]，求函数y＝f (x＋1)的定义域． 提示：由1≤x＋1≤2得0≤x≤1， 所以函数y＝f (x＋1)的定义域为[0，1]． 【例1】求下列函数的定义域： (1)f (x)＝2＋； (2)f (x)＝(x－1)0＋； (3)f (x)＝·； (