(教案)第2章 等式与不等式 阶段任务性复习-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

任务一　一元二次方程的解法及根与系数的关系 问题　一元二次方程中根与系数的关系应用的前提条件是什么？应用时注意什么问题？ 提示：前提条件是：(1)a≠0；(2)Δ≥0． 在应用时应注意恒等变形和整体代入． 1．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根． (1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值． 解：(1)假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立． 因为一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根， 所以解得k＜0． 又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根， 所以 所以(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x＋x)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－＝－，所以k＝． 又k＜0，所以不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立． (2)因为＋－2＝－2＝－4＝－4＝－， 所以要使其值是整数，只需k＋1能被4整除， 即k＋1＝±1，±2，±4．又k＜0， 所以使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5． 2．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0． (1)若方程有两个实根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值． 解：(1)因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个实根，所以Δ＝4－4m≥0，解不等式，得m≤1． (2)由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝2， 又x1＋3x2＝3，所以x2＝． 把x2＝代入原方程，得m＝． 任务二　不等式的性质及其应用 问题1　用来表示不等关系的式子叫不等式．利用不等式(组)刻画不等关系时应注意什么问题？ 提示：利用不等式(组)刻画不等关系时应注意下列问题：(1)问题中的不等关系有哪些，是否需要这些不等关系同时成立； (2)每一个不等关系各是怎样的； (3)需不需要设出变量． 问题2　我们是如何类比等式基本性质得到不等式的性质的？不等式的性质有哪些？哪些性质是可逆的？ 提示：等式的基本性质： (1)若a＝b，则b＝a； (2)若a＝b，b＝c，则a＝c； (3)若a＝b，则a±c＝b±c； (4)若a＝b，则ac2＝bc2； (5)若a＝b，c≠0，则＝． 类比等式的性质得不等式的性质： 性质1(对称性)：a>b⇔b<a； 性质2(传递性)：a>b，b>c⇒a>c； 性质3(可加性)：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4(可乘性)：a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5(同向可加性)：⇒a＋c>b＋d； 性质6(同正同向可乘性)：⇒ac>bd； 性质7(同正可乘方性)：a>b>0⇒an>bn (n∈N，n≥2)． 其中性质1，3是可逆的． 1．实数a，b，c满足a2＝2a＋c－b－1且a＋b2＋1＝0，则下列关系成立的是(　　) A．b>a≥c B．c≥a>b C．b>c≥a D．c>b>a D　解析：由a2＝2a＋c－b－1可得(a－1)2＝c－b≥0，所以c≥b， 由a＋b2＋1＝0可得a＝－b2－1<－1， 所以(a－1)2≠0，c>b，所以b－a＝b2＋b＋1＝＋>0，所以b>a， 综上，c>b>a． 2．已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．> B．a2＞b2 C．> D．a|c|＞b|c| C　解析：A．当a＝2，b＝1时，<，故错误； B．当a＝－1，b＝－2时，a2<b2，故错误； C．因为 a＞b，c2＋1>0，所以>，故正确； D．当c＝0时，a|c|＝b|c|，故错误． 3．设A＝，B＝，则A与B的大小关系是(　　) A．A<B B．A>B C．仅有x>0时，A<B D．以上结论都不成立 D　解析：A－B＝－＝，令A－B<0，得x<－4或x>－2，令A－B>0，得－4<x<－2，所以A，B的大小不确定． 4．若a<b<0，则下列不等式错误的是(　　) A．> B．> C．|a|>|b| D．a2>b2 B　解析：对A，因为a<b<0，所以>，故A正确；对B，因为a<b<0，所以－b>0，即a<a－b<0，所以>，故B错误；对C，因为a<b<0，所以－a>－b>0，即|－a|>|－b|，即|a|>|b|，故C正确；对D，因为a<b<0，所以－a>－b>0，即(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D正确． 任务三　利用均值不等式求最值 问题1　均值不等式有哪些变式？ 提示：常见变式有：①a＋b≥2(a>0，b>0)； ②ab≤ (a>0，b>0)． 问题2　用均值不等式求最值的条件是什么？ 提示：用均值不等式求最值的条件：